ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 670261. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Даны векторы \vec a левая круглая скобка минус 10; 3 правая круглая скобка , \vec b левая круглая скобка минус 1; минус 6 правая круглая скобка и \vec c левая круглая скобка минус 2; 6 правая круглая скобка . Найдите скалярное произведение векторов \vec a плюс \vec b и \vec c.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Сначала найти сумму векторов по координатам, затем применить формулу скалярного произведения как сумму произведений соответствующих координат.

Шаг 1. Найдём сумму векторов a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b}

Складываем соответствующие координаты: a⃗+b⃗=(−10;3)+(−1;−6)=(−10−1;3−6)=(−11;−3)\vec{a} + \vec{b} = (-10; 3) + (-1; -6) = (-10-1; 3-6) = (-11; -3)

При сложении векторов первая координата складывается с первой, вторая со второй.

Шаг 2. Вычислим скалярное произведение (a⃗+b⃗)⋅c⃗(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}

Скалярное произведение двух векторов (x1;y1)(x_1; y_1) и (x2;y2)(x_2; y_2) равно x1⋅x2+y1⋅y2x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2.

Получаем: (a⃗+b⃗)⋅c⃗=(−11)⋅(−2)+(−3)⋅6(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-11) \cdot (-2) + (-3) \cdot 6

Шаг 3. Выполним умножение

(−11)⋅(−2)=22(-11) \cdot (-2) = 22 (−3)⋅6=−18(-3) \cdot 6 = -18

Шаг 4. Сложим результаты

22+(−18)=422 + (-18) = 4

Типичные ошибки

  • Забыли сложить векторы a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b} перед вычислением скалярного произведения и попытались считать произведение сразу с исходными векторами
  • Ошибка в знаках при сложении координат: например, 3+(−6)=−33 + (-6) = -3, а не 33
  • Забыли, что скалярное произведение — это x1x2+y1y2x_1x_2 + y_1y_2, а не просто произведение по отдельности

Ещё задачи этой подтемы