ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 680501. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Даны векторы \veca = левая круглая скобка 2; 1 правая круглая скобка , \vecb = левая круглая скобка 2; минус 4 правая круглая скобка . Найдите скалярное произведение векторов \vec a плюс \vecb и 7\veca минус \vecb.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Сначала выполняем все операции с векторами (сложение, вычитание, умножение на скаляр) поэлементно, затем применяем формулу скалярного произведения через сумму произведений соответствующих координат.

Шаг 1: Найдём вектор a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}

Складываем координаты: a⃗+b⃗=(2+2;1+(−4))=(4;−3)\vec{a} + \vec{b} = (2 + 2; 1 + (-4)) = (4; -3)

Шаг 2: Найдём вектор 7a⃗−b⃗7\vec{a} - \vec{b}

Сначала умножим a⃗\vec{a} на 7, затем вычтем b⃗\vec{b}: 7a⃗=(7⋅2;7⋅1)=(14;7)7\vec{a} = (7 \cdot 2; 7 \cdot 1) = (14; 7) 7a⃗−b⃗=(14−2;7−(−4))=(12;11)7\vec{a} - \vec{b} = (14 - 2; 7 - (-4)) = (12; 11)

Шаг 3: Вычислим скалярное произведение

Для векторов u⃗=(u1;u2)\vec{u} = (u_1; u_2) и v⃗=(v1;v2)\vec{v} = (v_1; v_2) скалярное произведение равно u1v1+u2v2u_1 v_1 + u_2 v_2.

(a⃗+b⃗)⋅(7a⃗−b⃗)=4⋅12+(−3)⋅11=48−33=15(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15

Типичные ошибки

  • Неправильное раскрытие выражения 7a⃗−b⃗7\vec{a} - \vec{b}: забывают умножить обе координаты a⃗\vec{a} на 7 перед вычитанием.
  • Ошибка в знаках при вычитании: например, пишут 7−(−4)=37 - (-4) = 3 вместо 7−(−4)=117 - (-4) = 11.
  • Неверное применение формулы скалярного произведения: вычисляют (4+(−3))⋅(12+11)(4 + (-3)) \cdot (12 + 11) вместо произведения соответствующих координат.

Ещё задачи этой подтемы