ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 27722. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов \overrightarrowAB и \overrightarrowAC.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Скалярное произведение равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними; в равностороннем треугольнике все углы — 60°.

Используем формулу скалярного произведения двух векторов через их длины и угол между ними:

AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(∠BAC)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\angle BAC)

Определяем длины векторов. Векторы AB→\overrightarrow{AB} и AC→\overrightarrow{AC} направлены вдоль сторон треугольника, поэтому их модули равны длинам этих сторон: ∣AB→∣=3,∣AC→∣=3|\overrightarrow{AB}| = 3, \quad |\overrightarrow{AC}| = 3

Находим угол между векторами. Угол между векторами AB→\overrightarrow{AB} и AC→\overrightarrow{AC} — это угол при вершине A треугольника ABC. Так как треугольник правильный (равносторонний), все его углы равны 60°: ∠BAC=60°\angle BAC = 60°

Вычисляем косинус угла: cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}

Подставляем все значения в формулу скалярного произведения: AB→⋅AC→=3⋅3⋅12=9⋅12=4,5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4,5

Типичные ошибки

  • Забыли, что угол между векторами AB и AC — это угол треугольника при вершине A, а не 30°
  • Перепутали угол: использовали 120° вместо 60° (угол не равен смежному углу)
  • Вычислили неправильно: забыли, что cos(60°) = 0,5, а не √3/2

Ещё задачи этой подтемы