Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Шаг 1. Определяем координаты векторов

Из рисунка выписываем координаты: $\vec{a}(3; -4)$ и $\vec{b}(4; -3)$. Каждый вектор задан двумя компонентами — горизонтальной и вертикальной.

Шаг 2. Вспоминаем формулу косинуса угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле: $$\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Здесь нужен скалярное произведение в числителе и произведение модулей (длин) в знаменателе.

Шаг 3. Вычисляем скалярное произведение

Скалярное произведение: перемножаем соответствующие координаты и складываем: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) = 12 + 12 = 24$$

Шаг 4. Вычисляем модули векторов

Модуль вектора — это длина: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Шаг 5. Подставляем в формулу

$$\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0,96$$