ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

На координатной плоскости изображены векторы \veca и \vecb. Найдите скалярное произведение \veca умножить на \vecb.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Скалярное произведение векторов находится суммой произведений соответствующих координат: абсцисса на абсциссу плюс ордината на ординату.

Шаг 1. Определяем координаты векторов по рисунку.

Из координатной плоскости читаем:

  • Вектор a⃗=(4;6)\vec{a} = (4; 6) — начало в начале координат, конец в точке (4;6)(4; 6)
  • Вектор b⃗=(6;−2)\vec{b} = (6; -2) — начало в начале координат, конец в точке (6;−2)(6; -2)

Шаг 2. Применяем формулу скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов вычисляется через их координаты: a⃗⋅b⃗=xa⋅xb+ya⋅yb\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b

Эта формула работает потому, что она выражает произведение модулей на косинус угла между ними через прямоугольные компоненты векторов.

Шаг 3. Подставляем числовые значения.

a⃗⋅b⃗=4⋅6+6⋅(−2)\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 6 + 6 \cdot (-2)

=24−12= 24 - 12

=12= 12

Первое слагаемое положительное (векторы сонаправлены по горизонтали), второе отрицательное (противоположны по вертикали). Итоговый результат положительный, значит угол между векторами острый.

Типичные ошибки

  • Ошибка в определении знака координат вектора b⃗\vec{b} — забыли, что точка находится ниже оси абсцисс, поэтому yb=−2y_b = -2, а не 22.
  • Перепутали порядок координат или неправильно прочитали вектор с рисунка — координаты нужно брать ровно в том порядке, в котором они указаны на осях.
  • Забыли применить формулу скалярного произведения и вместо этого пытались вычислить модули векторов или использовали геометрический способ через косинус угла.
Непонятно?

Похожие задачи