ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 649905. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов5.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

На координатной плоскости изображены векторы \veca и \vecb. Найдите длину вектора 2 \veca минус \vecb.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Найти координаты результирующего вектора через алгебраические операции над координатами, затем применить формулу длины вектора через корень из суммы квадратов координат.

Шаг 1: Определяем координаты векторов

Из рисунка читаем координаты:

  • a⃗(1;−1)\vec{a}(1; -1)
  • b⃗(−2;1)\vec{b}(-2; 1)

Шаг 2: Находим координаты вектора 2a⃗−b⃗2\vec{a} - \vec{b}

Умножаем a⃗\vec{a} на 2 и вычитаем b⃗\vec{b}: 2a⃗−b⃗=(2⋅1−(−2);2⋅(−1)−1)=(2+2;−2−1)=(4;−3)2\vec{a} - \vec{b} = (2 \cdot 1 - (-2); 2 \cdot (-1) - 1) = (2 + 2; -2 - 1) = (4; -3)

При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. При вычитании координаты вычитаются поэлементно.

Шаг 3: Вычисляем длину полученного вектора

Длина вектора с координатами (x;y)(x; y) находится по формуле: ∣c⃗∣=x2+y2|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Для нашего вектора: ∣2a⃗−b⃗∣=42+(−3)2=16+9=25=5|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Типичные ошибки

  • Ошибка в знаке при вычитании: забыли, что вычитание отрицательного числа даёт сложение (2−(−2)=42 - (-2) = 4, а не 00)
  • Неправильное применение умножения вектора на число — умножили только одну координату
  • Ошибка в вычислении корня: забыли возвести координаты в квадрат перед суммированием

Ещё задачи этой подтемы