Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Шаг 1. Определяем координаты векторов.

Координаты вектора находятся как разность координат его конца и начала. По рисунку (стандартная задача с координатной сеткой) получаем: $$\vec{a} = (2; 6), \quad \vec{b} = (8; 4)$$

Шаг 2. Вычисляем скалярное произведение.

Для векторов в координатах скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 16 + 24 = 40$$

Шаг 3. Находим длины векторов.

Длина вектора — это корень из суммы квадратов его координат: $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$$

Шаг 4. Применяем формулу угла между векторами.

По определению: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$$\cos \alpha = \frac{40}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{80}} = \frac{40}{\sqrt{3200}}$$

Шаг 5. Упрощаем.

Заметим, что $\sqrt{80} = \sqrt{40 \cdot 2} = \sqrt{40} \cdot \sqrt{2}$: $$\cos \alpha = \frac{40}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{40} \cdot \sqrt{2}} = \frac{40}{40 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Находим угол.

В диапазоне $[0°; 180°]$ уравнение $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет единственное решение: $$\alpha = 45°$$