Задача 644820. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

На координатной плоскости изображены векторы $\veca,$ $\vecb$ и $\vecc.$ Вектор $\vecc$ разложен по двум неколлинеарным векторам $\veca$ и $\vecb:$

$\vecc=k \veca плюс l\vecb,$

где k и l  — коэффициенты разложения. Найдите k.

В подтеме 58 задач

Разбор

Главная идея: Разложение вектора по базису сводится к системе линейных уравнений: координаты левой и правой части должны совпадать по каждой оси.

Шаг 1. Определяем координаты векторов по рисунку.

Из координатной плоскости читаем:

Шаг 2. Раскрываем разложение $\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}$ в координатной форме.

Подставляем координаты векторов: $\vec{c} = k(1; 3) + l(2; 1)$

Умножаем коэффициенты на компоненты каждого вектора: $\vec{c} = (k; 3k) + (2l; l) = (k + 2l; 3k + l)$

Шаг 3. Приравниваем компоненты вектора $\vec{c}$ .

Так как $\vec{c} = (5; 0)$ , получаем систему уравнений: $\begin{cases} k + 2l = 5 \\ 3k + l = 0 \end{cases}$

Шаг 4. Решаем систему.

Из второго уравнения выражаем $l$ : $l = -3k$

Подставляем в первое уравнение: $k + 2(-3k) = 5$ $k - 6k = 5$ $-5k = 5$ $k = -1$

Проверка: $l = -3 \cdot (-1) = 3$ . Действительно: $-1 + 2(3) = 5$ ✓ и $3(-1) + 3 = 0$ ✓

Неправильное чтение координат векторов с рисунка (перепутаны абсцисса и ордината)
Ошибка при раскрытии скобок — забыли умножить все компоненты вектора на коэффициент
Арифметическая ошибка при решении системы уравнений, особенно при подстановке выражения для $l$

Ещё задачи этой подтемы