ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . Найдите скалярное произведение \overrightarrowAB умножить на \overrightarrowAC.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Скалярное произведение вектора на сторону, образующую с ним угол α, равно произведению длин, умноженному на косинус угла; в данном случае косинус сокращается, остаётся просто квадрат длины катета.

В прямоугольном треугольнике ABC обозначим угол между катетом AC и гипотенузой AB как α.

Шаг 1: Выразим гипотенузу через катет и угол. Из прямоугольного треугольника по определению косинуса угла: cos⁡α=ACAB\cos α = \frac{AC}{AB}

Отсюда: AB=ACcos⁡αAB = \frac{AC}{\cos α}

Шаг 2: Применим формулу скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: AB→⋅AC→=AB⋅AC⋅cos⁡α\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos α

Шаг 3: Подставим выражение для AB. AB→⋅AC→=ACcos⁡α⋅AC⋅cos⁡α\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{AC}{\cos α} \cdot AC \cdot \cos α

Косинусы сокращаются: AB→⋅AC→=AC2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AC^2

Шаг 4: Подставим числовое значение. По условию AC=3AC = \sqrt{3}, поэтому: AB→⋅AC→=(3)2=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\sqrt{3})^2 = 3

Типичные ошибки

  • Забыть, что скалярное произведение использует именно угол между векторами (а не угол в треугольнике), и неправильно определить этот угол
  • Спутать косинус угла: записать sin⁡α\sin α вместо cos⁡α\cos α или использовать другой угол треугольника
  • Не заметить, что cos⁡α\cos α сокращается, и оставить ответ в виде дроби или неупрощённого выражения
Непонятно?

Похожие задачи