Задача 654449. Векторы и операции с ними

В прямоугольном треугольнике ABC обозначим угол между катетом AC и гипотенузой AB как α.

Шаг 1: Выразим гипотенузу через катет и угол. Из прямоугольного треугольника по определению косинуса угла: $$\cos α = \frac{AC}{AB}$$

Отсюда: $$AB = \frac{AC}{\cos α}$$

Шаг 2: Применим формулу скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos α$$

Шаг 3: Подставим выражение для AB. $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{AC}{\cos α} \cdot AC \cdot \cos α$$

Косинусы сокращаются: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AC^2$$

Шаг 4: Подставим числовое значение. По условию $AC = \sqrt{3}$, поэтому: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\sqrt{3})^2 = 3$$