Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Даны векторы $\vec{a} = (2; 6)$ и $\vec{b} = (8; 4)$.

Шаг 1. Вычислим скалярное произведение.

Скалярное произведение векторов по координатам: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 16 + 24 = 40$$

Шаг 2. Найдём длины векторов.

Длина вектора $\vec{a}$: $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

Длина вектора $\vec{b}$: $$|\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$

Шаг 3. Используем формулу скалярного произведения через угол.

Скалярное произведение также выражается как: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$$

где $\alpha$ — угол между векторами.

Шаг 4. Найдём косинус угла.

$$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{40}{2\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{40}{8\sqrt{50}} = \frac{40}{8 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Найдём угол.

Так как $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\alpha = 45°$.