ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

На клетчатой бумаге с размером клетки 1\times 1 изображен треугольник ABC. Найдите скалярное произведение \overrightarrowAB умножить на \overrightarrowAC.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними; в прямоугольном треугольнике косинус острого угла легко выражается отношением катета к гипотенузе.

Шаг 1. Определяем стороны треугольника

По клеткам находим длины сторон, используя теорему Пифагора для расстояний между точками:

  • AC=5AC = \sqrt{5}
  • BC=20=25BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
  • AB=5AB = 5

Шаг 2. Проверяем, является ли треугольник прямоугольным

Сравниваем квадраты сторон:

  • AB2=25AB^2 = 25
  • AC2+BC2=5+20=25AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25

Поскольку AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине CC.

Шаг 3. Вычисляем скалярное произведение

Скалярное произведение векторов выражается через длины и угол между ними: AB→⋅AC→=∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡α\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos\alpha

где α\alpha — угол между векторами AB→\overrightarrow{AB} и AC→\overrightarrow{AC} (угол при вершине AA).

Из прямоугольного треугольника: cos⁡α=ACAB=55\cos\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Шаг 4. Находим произведение

AB→⋅AC→=5⋅5⋅55=5⋅55=5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 5 \cdot \frac{5}{5} = 5

Типичные ошибки

  • Забыли проверить, что треугольник прямоугольный, и использовали теорему косинусов вместо простого определения скалярного произведения
  • Неправильно определили длины сторон по клеткам — ошибка в подсчёте координат точек
  • Перепутали, какой угол использовать в формуле: взяли угол при вершине C вместо угла при вершине A
Непонятно?

Похожие задачи