Задача 654451. Векторы и операции с ними

Шаг 1. Определяем стороны треугольника

По клеткам находим длины сторон, используя теорему Пифагора для расстояний между точками:

• $AC = \sqrt{5}$
• $BC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $AB = 5$

Шаг 2. Проверяем, является ли треугольник прямоугольным

Сравниваем квадраты сторон:

• $AB^2 = 25$
• $AC^2 + BC^2 = 5 + 20 = 25$

Поскольку $AB^2 = AC^2 + BC^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

Шаг 3. Вычисляем скалярное произведение

Скалярное произведение векторов выражается через длины и угол между ними: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos\alpha$$

где $\alpha$ — угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ (угол при вершине $A$).

Из прямоугольного треугольника: $\cos\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Шаг 4. Находим произведение

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 5 \cdot \frac{5}{5} = 5$$