Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

Чтобы найти длину суммы векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, применим правило параллелограмма.

Шаг 1. Представим сумму векторов геометрически. Если отложить векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ из общей точки A, то их сумма равна диагонали параллелограмма (в данном случае ромба), построенного на этих векторах как на сторонах.

Шаг 2. Обозначим точку D так, чтобы $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$. Тогда ABDC — ромб, у которого все стороны равны $2\sqrt{3}$ (так как $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{3}$).

Шаг 3. В правильном треугольнике ABC диагональ AD ромба совпадает с удвоенной медианой этого треугольника. Медиана равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 4. Подставим значение стороны $a = 2\sqrt{3}$: $$m = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$$

Шаг 5. Диагональ AD равна удвоенной медиане: $$AD = 2m = 2 \cdot 3 = 6$$

Следовательно, $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 6$.