ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задание 2 ЕГЭ, математика (профиль): Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов5.6.6 Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами

Найдите квадрат длины вектора \overrightarrowa + \overrightarrowb.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат; сначала складываем векторы по координатам, затем применяем формулу длины.

Шаг 1. Находим координаты суммы векторов

При сложении векторов складываются соответствующие координаты: a⃗+b⃗=(2;6)+(8;4)=(2+8;6+4)=(10;10)\vec{a} + \vec{b} = (2; 6) + (8; 4) = (2+8; 6+4) = (10; 10)

Почему так? Вектор — это направленный отрезок, и его координаты показывают смещение по осям. Когда мы складываем векторы, смещения складываются по каждому направлению отдельно.

Шаг 2. Вычисляем длину суммы векторов

Длина вектора с координатами (x;y)(x; y) находится по формуле расстояния: ∣a⃗+b⃗∣=102+102=100+100=200|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200}

Шаг 3. Находим квадрат длины

Нам нужен квадрат длины вектора, поэтому возводим результат в квадрат: ∣a⃗+b⃗∣2=(200)2=200|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\sqrt{200})^2 = 200

Это проще, чем вычислять корень, а потом возводить в квадрат: квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его координат: ∣a⃗+b⃗∣2=102+102=100+100=200|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200

Типичные ошибки

  • Забыли, что складываются именно координаты, а не длины исходных векторов
  • Вычислили длину вектора a⃗\vec{a} и вектора b⃗\vec{b} отдельно, а потом их сложили — это неверно
  • Вычислили 200\sqrt{200} и забыли возвести в квадрат, дав ответ 200\sqrt{200} вместо 200
Непонятно?

Похожие задачи