ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 2Векторы и операции с ними

Задача 27712. Векторы и операции с ними

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 25.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов \overrightarrowAO и \overrightarrowDO.

В подтеме 58 задач
Разбор
Главная идея: Разность векторов AO→−DO→\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} преобразуется в сумму AO→+OD→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}, которая по правилу треугольника равна вектору стороны AD→\overrightarrow{AD}.

Воспользуемся свойством вычитания векторов. Разность AO→−DO→\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} можно переписать, применив правило: AO→−DO→=AO→+OD→\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}.

По правилу треугольника для сложения векторов: AO→+OD→=AD→\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AD}. Это означает, что разность исходных векторов даёт нам вектор стороны прямоугольника.

Теперь определим, какая именно сторона. В прямоугольнике ABCD с вершинами в порядке обхода стороны равны 6 и 8. По условию две стороны имеют длины 6 и 8. Сторона ADAD соединяет две соседние вершины, поэтому она является одной из сторон прямоугольника.

Длина вектора AD→\overrightarrow{AD} — это длина стороны ADAD. Из двух возможных значений (6 и 8) сторона ADAD в стандартной ориентации прямоугольника ABCD равна 8.

Таким образом, ∣AO→−DO→∣=∣AD→∣=8|\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO}| = |\overrightarrow{AD}| = 8.

Типичные ошибки

  • Попытка вычислить координаты точек O и отдельно векторов вместо использования векторного сложения — усложнение задачи
  • Неправильное применение правила вычитания векторов: забывают, что −DO→=OD→-\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OD}
  • Ошибка в определении длины стороны AD: перепутывают, какая из сторон (6 или 8) является стороной AD вместо BC

Ещё задачи этой подтемы