Объёмы многогранников в задании 14 ЕГЭ: гайд и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 14 профильного ЕГЭ — стереометрическая задача из двух пунктов. Пункт а) требует доказать утверждение: равенство расстояний, отношение, в котором сечение делит отрезок, перпендикулярность прямой и плоскости и так далее. Пункт б) — вычислить объём: либо объём исходного многогранника (призмы, пирамиды), либо объём части, полученной после сечения, либо объём отдельной пирамиды, вписанной в фигуру. Подтема «Объёмы многогранников» касается именно второй половины: как аккуратно и быстро посчитать нужный объём, опираясь на то, что уже доказано в пункте а).

Стандартные фигуры этой подтемы — правильные и неправильные призмы, тетраэдры, пирамиды с треугольным или четырёхугольным основанием, комбинации двух пирамид, части призмы, отсечённые плоскостью. Ключевая идея почти всегда одна: сложную фигуру разбить на простые (тетраэдры, пирамиды, призмы) и посчитать объём каждой части по стандартной формуле, либо перейти к координатам и вычислить объём через смешанное произведение векторов.

Что нужно знать

Объём призмы: $V = S_{осн} \cdot h$, где $h$ — расстояние между плоскостями оснований, $S_{осн}$ — площадь основания.

Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.

Объём тетраэдра через векторы (смешанное произведение): если тетраэдр задан вершиной $A$ и векторами $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$, то $$V = \frac{1}{6}\left|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot \vec{AD}\right|.$$ Эта формула особенно удобна, когда фигуру неудобно строить синтетически и проще перейти к координатам.

Свойство подобия: если тело масштабировать с коэффициентом $k$, объём меняется как $k^3$ (площадь — как $k^2$). Это часто используется, когда сечение делит ребро в известном отношении.

Аддитивность объёма: объём составной фигуры равен сумме объёмов её частей; объём «фигуры с вырезом» равен объёму большой фигуры минус объём вырезанной части. Иногда вычислять «через дополнение» быстрее, чем напрямую.

Формулы для равностороннего треугольника со стороной $a$: высота $\dfrac{a\sqrt3}{2}$, площадь $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми: если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а вторая ей параллельна, то расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки второй прямой до этой плоскости. Часто такая плоскость оказывается «вертикальной» над стороной основания, и тогда трёхмерное расстояние сводится к плоской задаче — поиску расстояния от точки до прямой в основании.

Деление отрезка в данном отношении: если точка $T$ делит отрезок $BM$ так, что $BT:TM = p:q$, то $T = B + \dfrac{p}{p+q}(M-B)$.

Как решать: метод и алгоритм

1. Перечертите фигуру, отметьте все данные длины и указанные точки (середины, точки деления в отношении). Отдельно выпишите, что нужно доказать в пункте а) — часто это условие облегчает вычисление объёма в пункте б).
2. Выберите способ: синтетический (разложение на известные пирамиды и призмы) или координатный. Координатный метод особенно хорош, когда в условии есть перпендикулярные плоскости, правильные фигуры или несколько точек деления отрезков.
3. Если выбран координатный метод: поместите начало координат в удобную точку (середину общего ребра или центр основания), направьте оси по осям симметрии или перпендикулярным направлениям, выпишите координаты всех нужных вершин.
4. Докажите пункт а), используя векторы, уравнения плоскостей или проекции — это часто даёт данные, нужные для вычисления объёма.
5. Разбейте искомое тело на тетраэдры (обычно 1–3 штуки) и посчитайте объём каждого через смешанное произведение либо через $V=\frac13 S h$.
6. Сложите объёмы частей (или вычтите объём отсечённой части из объёма исходной фигуры).
7. Проверьте ответ на разумность: сравните с объёмом всей исходной фигуры (искомая часть должна быть меньше), проверьте знаки под корнем и итоговую дробь.

Разбор примера

Пример 1. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковое ребро равно $8\sqrt3$, ребро основания равно $1$. Точка $D$ — середина ребра $BB_1$. а) Докажите, что расстояние между прямыми $A_1D$ и $CC_1$ равно расстоянию от точки $A$ до плоскости $BCC_1$. б) Найдите объём пятигранника $ABCA_1D$.

Пункт а). Прямая $CC_1$ параллельна ребру $AA_1$, а $AA_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, которой принадлежит и прямая $A_1D$. Значит, $CC_1$ параллельна плоскости $ABB_1A_1$, и расстояние между скрещивающимися прямыми $CC_1$ и $A_1D$ равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $ABB_1A_1$. Эта плоскость — вертикальная над прямой $AB$, поэтому расстояние от $C$ до неё равно высоте равностороннего треугольника со стороной 1: $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Аналогично плоскость $BCC_1$ — вертикальная плоскость над прямой $BC$, поэтому расстояние от $A$ до неё равно расстоянию от $A$ до прямой $BC$ в основании — тоже высоте равностороннего треугольника: $\dfrac{\sqrt3}{2}$. Оба расстояния равны одной величине, что и требовалось доказать.

Пункт б). Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2,0\right)$, $A_1(0,0,h)$, $D\left(1,0,\tfrac h2\right)$, где $h=8\sqrt3$.

Пятигранник $ABCA_1D$ разбивается на два тетраэдра: $ABCD$ и $ACA_1D$.

Объём тетраэдра $ABCD$ через векторы $\vec{AB}=(1,0,0)$, $\vec{AC}=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2,0\right)$, $\vec{AD}=\left(1,0,\tfrac h2\right)$ даёт $$V_1=\frac16\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right| = \frac{\sqrt3\,h}{24}.$$

Объём тетраэдра $ACA_1D$ аналогичным вычислением равен $V_2=\dfrac{\sqrt3\,h}{12}$.

Суммарный объём: $$V=V_1+V_2=\frac{\sqrt3 h}{24}+\frac{\sqrt3h}{12}=\frac{3\sqrt3h}{24}=\frac{\sqrt3h}{8}.$$

Подставляя $h=8\sqrt3$: $V=\dfrac{\sqrt3\cdot 8\sqrt3}{8}=\dfrac{24}{8}=3$.

Ответ: $3$.

Пример 2. Правильные треугольники $ABC$ и $ABM$ лежат в перпендикулярных плоскостях, $AB=10\sqrt3$. Точка $P$ — середина $AM$, точка $T$ делит $BM$ в отношении $BT:TM=3:1$. а) Докажите, что плоскость $CPT$ делит высоту $MD$ треугольника $AMB$ в отношении $1:2$ от точки $M$. б) Найдите объём пирамиды $MPTC$.

Координаты. Пусть $D$ — середина $AB$ (точка, куда падает высота и из $C$, и из $M$, так как оба треугольника равносторонние). Обозначим $a=AB=10\sqrt3$. Поместим $D$ в начало координат, $AB$ — вдоль оси $x$: $A\left(-\tfrac a2,0,0\right)$, $B\left(\tfrac a2,0,0\right)$. Плоскость $ABC$ — плоскость $xy$, плоскость $ABM$ (перпендикулярная первой) — плоскость $xz$. Тогда $$C=\left(0,\frac{a\sqrt3}{2},0\right),\qquad M=\left(0,0,\frac{a\sqrt3}{2}\right).$$ Высота $MD$ — отрезок оси $z$ от $M$ до $D=(0,0,0)$.

$P$ — середина $AM$: $P=\left(-\dfrac a4,0,\dfrac{a\sqrt3}4\right)$.

$T$ делит $BM$ в отношении $BT:TM=3:1$, значит $T=B+\dfrac34(M-B) = \left(\dfrac a8, 0, \dfrac{3a\sqrt3}8\right)$.

Пункт а). Найдём точку пересечения плоскости $CPT$ с осью $z$ (прямой $MD$), представив точку $(0,0,z_0)$ как линейную комбинацию $C,P,T$. Вычисление даёт $z_0=\dfrac{a\sqrt3}3$. Расстояние от $M\left(z=\tfrac{a\sqrt3}2\right)$ до точки пересечения равно $\dfrac{a\sqrt3}2-\dfrac{a\sqrt3}3=\dfrac{a\sqrt3}6$, а от точки пересечения до $D$ — $\dfrac{a\sqrt3}3$. Отношение этих длин: $\dfrac{a\sqrt3}6 : \dfrac{a\sqrt3}3 = 1:2$, считая от $M$ — что и требовалось доказать.

Пункт б). Объём пирамиды $MPTC$ считаем через смешанное произведение векторов из вершины $M$: $$\vec{MP}=\left(-\frac a4,0,-\frac{a\sqrt3}4\right),\quad \vec{MT}=\left(\frac a8,0,-\frac{a\sqrt3}8\right),\quad \vec{MC}=\left(0,\frac{a\sqrt3}2,-\frac{a\sqrt3}2\right).$$ После вычисления получаем $$V=\frac16\left|\vec{MP}\cdot(\vec{MT}\times\vec{MC})\right| = \frac{a^3}{64}.$$ Подставляя $a=10\sqrt3$, находим $a^3 = 1000\cdot3\sqrt3 = 3000\sqrt3$, откуда $$V=\frac{3000\sqrt3}{64}=\frac{375\sqrt3}{8}.$$

Ответ: $\dfrac{375\sqrt3}{8}$.

Типичные ошибки

• Путают формулы объёма призмы и пирамиды — забывают множитель $\dfrac13$ у пирамиды или, наоборот, добавляют его для призмы.
• При разложении сложного многогранника на тетраэдры неправильно определяют грани — не проверяют, что выбранные тетраэдры не пересекаются и в сумме дают весь многогранник без пропусков и повторов.
• Путают направление отношения деления отрезка: например, $BT:TM=3:1$ — это не то же самое, что деление от $M$ в отношении $1:3$.
• Забывают обосновать параллельность прямой и плоскости перед использованием формулы расстояния через параллельную плоскость, а не просто предполагают её.
• Допускают арифметические ошибки при возведении иррационального числа в куб — полезно сначала вывести формулу через переменную (например, через $a$ или $h$), а числа подставлять в самом конце.
• Не берут модуль в формуле смешанного произведения — объём не может быть отрицательным.
• Выбирают неудобное расположение осей координат и вносят лишние переменные, хотя достаточно совместить начало координат с серединой общего ребра или центром симметрии.

На что обратить внимание на экзамене

Оформляйте пункт а) как полноценное доказательство с логической цепочкой (параллельность, равенство расстояний, применение свойств деления отрезка), а не как набор вычислений без объяснений. Если утверждение удаётся доказать через параллельность плоскостей или подобие, это часто экономит время по сравнению с чисто координатным подходом.

Переходите к координатам сразу, если в условии есть перпендикулярные плоскости, правильные многоугольники или несколько точек деления в разных отношениях — синтетические построения в таких задачах обычно длиннее и рискованнее по ошибкам.

Держите длины в буквенном виде (через $a$ или $h$) до последнего шага и подставляйте числа только в готовую формулу объёма — так меньше шансов ошибиться при вычислениях с корнями.

Всегда делайте итоговую проверку: объём части фигуры должен быть заметно меньше объёма всей исходной призмы или пирамиды; если получилось наоборот — где-то пропущен множитель или неверно выбраны тетраэдры разбиения.

Записывайте ответ в требуемом виде — обычно это точная дробь с корнем, без десятичных приближений.