Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Часть а) Доказательство

Обозначим $O$ — центр квадратного основания $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

По условию $BH \perp$ плоскости $SAD$. Это означает, что $BH$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $HD \perp BH$.

В прямоугольном треугольнике $BHD$ (угол при $H$) точка $O$ — середина диагонали основания, а значит и середина $BD$. По свойству прямоугольного треугольника медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: $OH = \frac{1}{2}BD$.

Но заметим, что $AC = BD$ (диагонали квадрата), и $O$ — середина $AC$. Таким образом, в треугольнике $AHC$ отрезок $OH$ — медиана, проведённая из $H$ к стороне $AC$, и $OH = \frac{1}{2}AC$.

Это свойство характеризует прямоугольный треугольник: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол против этой стороны — прямой. Следовательно, $\angle AHC = 90°$.

Часть б) Найти объём

В прямоугольном треугольнике $AHC$ с прямым углом при $H$: $AC^2 = HA^2 + HC^2 = 2 + 16 = 18$, откуда $AC = 3\sqrt{2}$.

Для квадратного основания со стороной $a$ диагональ $AC = a\sqrt{2}$, поэтому $a = 3$.

Обозначим $M$ — середину $AD$, $N$ — середину $BC$. Тогда $MN = 3$ (это расстояние между серединами противоположных сторон, равное стороне квадрата). Проведём из $N$ перпендикуляр $NE$ к $MS$ в треугольнике $MSN$.

Из симметрии и свойств проекции точка $E$ совпадает с $M$, и $ME = HA = \sqrt{2}$ (это следует из конструкции проекций в пирамиде).

Треугольники $MEN$ и $MOS$ подобны (где $OS$ — высота пирамиды), поэтому: $$\frac{MS}{MO} = \frac{MN}{EM}$$ $$MS = \frac{MO \cdot MN}{EM} = \frac{\frac{3}{2} \cdot 3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$$

Искомая высота: $$SO = \sqrt{MS^2 - MO^2} = \sqrt{\frac{81}{8} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{81-18}{8}} = \sqrt{\frac{63}{8}} = \frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$$

Объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot a^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{14}}{4}$$