Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Так как все боковые ребра пирамиды равны, вершина S проектируется на плоскость основания в точку, равноудалённую от всех вершин прямоугольника — то есть в центр прямоугольника $O$ (точку пересечения диагоналей). Значит $SO$ — высота пирамиды.

По условию $BH\perp(SAD)$, значит $BH\perp AH$ и $BH\perp AD$ (это прямые плоскости $SAD$). Так как $ABCD$ — прямоугольник, $AB\perp AD$. По теореме о трёх перпендикулярах (наклонная $AB$, её проекция $AH$, прямая $AD$ в плоскости): раз $AB\perp AD$, то и проекция $AH\perp AD$.

Поскольку $BC\parallel AD$, из $AH\perp AD$ следует $AH\perp BC$. Также $AH\perp BH$ (так как $BH\perp$ плоскости, содержащей $AH$). Значит $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BH$ и $BC$ плоскости $BHC$, то есть $AH\perp(BHC)$, а значит $AH\perp HC$. Отсюда $\angle AHC=90^\circ$.

б) В прямоугольном треугольнике $AHC$: $AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{18+82}=\sqrt{100}=10$.

С другой стороны, в прямоугольнике $AC^2=AB^2+BC^2$, а $BC=\dfrac{S_{ABCD}}{AB}=\dfrac{48}{AB}$. Значит $$AB^2+\left(\frac{48}{AB}\right)^2=100 \;\Rightarrow\; AB^4-100AB^2+2304=0 \;\Rightarrow\; (AB^2-36)(AB^2-64)=0.$$ Поскольку $AB<AD$, подходит $AB^2=36$, то есть $AB=6$, $BC=8=AD$ — условие $AB<AD$ выполняется.

Пусть $M$ — середина $AD$. Отрезок $OM$ — средняя линия, $OM=\dfrac{AB}{2}=3$.

Треугольник $ABH$ прямоугольный (гипотенуза $AB$, катет $AH$), значит $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{36-18}=3\sqrt2$.

Углы $SMO$ и $HAB$ — линейные углы одного двугранного угла при ребре $AD$, поэтому треугольники $SOM$ и $BHA$ подобны: $$\frac{SO}{OM}=\frac{BH}{AH}\;\Rightarrow\;SO=\frac{BH\cdot OM}{AH}=\frac{3\sqrt2\cdot3}{3\sqrt2}=3.$$

Тогда объём пирамиды: $$V=\frac13\cdot SO\cdot S_{ABCD}=\frac13\cdot3\cdot48=48.$$