Задание 14 ЕГЭ профиль: стереометрия — расстояния, углы, объёмы, сечения

Что проверяет задание

Задание 14 — это стереометрическая задача из второй части экзамена, состоящая из двух пунктов: а) доказательство геометрического факта (параллельность, перпендикулярность, равенство углов, вид сечения) и б) вычисление числовой характеристики — расстояния, угла, объёма или площади сечения.

Проверяются:

• пространственное воображение — умение представить и изобразить фигуру, сечение, проекции;
• владение формулами объёмов и площадей;
• умение строить логически строгое доказательство (часть а без доказательства не засчитывается, даже если чертёж верный);
• владение хотя бы одним универсальным методом вычислений — координатным или векторным, — который позволяет не зависеть от «красивого» дополнительного построения.

Особенность номера в том, что часть а) обычно нужна для решения части б): доказанный факт (например, вид сечения или перпендикулярность прямой и плоскости) даёт готовый путь к числовому ответу.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Стандартная структура условия: задаётся многогранник или комбинация фигур (призма, пирамида, куб, цилиндр, конус, шар или их сочетание), указываются длины рёбер, углы или отношения отрезков. Далее:

• пункт а) — «докажите, что...» (сечение — трапеция/параллелограмм, угол больше/меньше другого, точка — середина отрезка, прямые перпендикулярны и т.п.);
• пункт б) — «найдите...» (расстояние между прямыми, от точки до плоскости, угол между плоскостями, объём части фигуры, площадь сечения).

Задание оценивается в 3 первичных балла: обычно 1 балл за верно и полно обоснованный пункт а), 2 балла — за пункт б) с обоснованным решением (или наоборот, в зависимости от сложности пунктов, критерии публикует ФИПИ к каждому варианту). При неверном или отсутствующем доказательстве в а) итоговый балл снижается, даже если численный ответ в б) верный, — эксперты требуют полную цепочку рассуждений.

Что нужно знать

• Объём призмы: $V = S_{осн} \cdot h$.
• Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
• Объём цилиндра: $V = \pi R^2 h$; объём конуса: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$; объём шара: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Расстояние от точки до плоскости через объём: если известен объём пирамиды с этой точкой как вершиной, то $h = \dfrac{3V}{S_{осн}}$.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми через векторы: $\rho = \dfrac{|(\vec{AB}, \vec{u}, \vec{v})|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}$, где $\vec u, \vec v$ — направляющие векторы прямых, $A, B$ — точки на них.
• Угол между плоскостями через нормали: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$.
• Угол между прямой и плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec s\cdot \vec n|}{|\vec s||\vec n|}$, где $\vec s$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — нормаль плоскости.
• Угол между скрещивающимися прямыми: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u||\vec v|}$.
• Теорема косинусов: $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ — используется для нахождения сторон сечений и оснований.
• Теорема о трёх перпендикулярах: если наклонная проецируется на плоскость, и проекция перпендикулярна прямой в этой плоскости, то и сама наклонная ей перпендикулярна.
• Площадь трапеции: $S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h$; площадь правильного шестиугольника со стороной $a$: $S = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$.
• Диагональ и апофема правильных многоугольников, свойства правильных пирамид (вершина проецируется в центр основания) и правильных призм.

Методы решения

1. Метод объёма. Если нужно найти расстояние от точки до плоскости, а объём тетраэдра или пирамиды с этой точкой как вершиной легко вычислить двумя способами, применяют формулу $h = \dfrac{3V}{S_{осн}}$.

Мини-пример: в тетраэдре объём $V=12$, площадь грани, противолежащей нужной вершине, $S=6$. Тогда расстояние от вершины до этой грани $h = \dfrac{3\cdot 12}{6}=6$.

2. Координатный метод. Вводится система координат, обычно с началом в центре основания или в удобной вершине, все точки задаются координатами, а расстояния и углы находятся через векторные формулы. Метод особенно хорош для правильных пирамид и призм с известной симметрией.

Мини-пример: если $A=(0,0,0)$, $B=(2,0,0)$, $D=(0,2,0)$, $A_1=(0,0,3)$, то расстояние между скрещивающимися $AB$ и $DA_1$ находится через векторное произведение направляющих векторов и вектор между точками на прямых.

3. Метод сечений. Сечение строится по правилу следов: находят точки пересечения секущей плоскости с рёбрами через параллельность заданным прямым или через прямые, лежащие в одной грани.

Мини-пример: если плоскость параллельна ребру основания и проходит через точку на боковом ребре, через эту точку проводят прямую, параллельную данному ребру, в той же грани — так получают ещё одну вершину сечения.

4. Метод дополнительных перпендикуляров и теорема о трёх перпендикулярах. Применяется для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости или нахождения угла между прямой и плоскостью без координат: строят проекцию наклонной и работают с прямоугольным треугольником.

Мини-пример: чтобы найти угол между боковым ребром пирамиды и основанием, опускают высоту из вершины пирамиды на основание и рассматривают прямоугольный треугольник «высота — проекция ребра — ребро».

5. Векторный метод для углов между плоскостями. Находят нормали к обеим плоскостям через векторное произведение пар векторов, лежащих в каждой плоскости, затем считают угол между нормалями.

Мини-пример: для грани, заданной тремя точками $P,Q,R$, нормаль $\vec n = \vec{PQ}\times \vec{PR}$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие, выписать все данные (длины рёбер, углы, отношения), сделать аккуратный чертёж от руки.
2. Определить тип искомой величины: расстояние, угол, объём или площадь сечения — от этого зависит набор формул.
3. Решить пункт а): найти геометрический факт (параллельность, перпендикулярность, вид сечения), опираясь на симметрию фигуры и свойства правильных многогранников. Доказательство оформить полными фразами со ссылками на теоремы.
4. Выбрать метод вычисления для пункта б): если фигура правильная и удобно вводится система координат — использовать координатный метод; если структура проще через объём или классические перпендикуляры — синтетический метод.
5. Провести вычисления, при необходимости дополнительно построить сечение или перпендикуляр, найденный в пункте а) использовать как готовый инструмент.
6. Проверить ответ на правдоподобность: сравнить полученное расстояние или угол с известными длинами и углами фигуры, убедиться, что число не превышает очевидных границ (например, расстояние между прямыми не больше длины кратчайшего соединяющего отрезка на чертеже).

Разбор примеров

Пример 1. Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, сторона основания $AB=4$, боковое ребро $AA_1=5\sqrt3$. На ребре $DD_1$ точка $M$ такая, что $DM:MD_1=3:2$. Плоскость $\alpha$ параллельна $A_1F_1$ и проходит через $M$ и $E$. а) Доказать, что сечение — равнобедренная трапеция. б) Найти объём пирамиды с вершиной $F$ и основанием — построенным сечением.

Шаг 1. Так как $DM:MD_1=3:2$ и $AA_1=5\sqrt3$, получаем $DM=3\sqrt3$. На ребре $CC_1$ отмечаем точку $N$ на той же высоте: $CN=3\sqrt3$, тогда $MN\parallel CD$.

Шаг 2. В правильном шестиугольнике $CD\parallel A_1F_1$, поэтому $MN\parallel A_1F_1$ — условие параллельности плоскости $\alpha$ прямой $A_1F_1$ выполнено, и сечением служит четырёхугольник $BNME$.

Шаг 3. Так как $BE\parallel AF\parallel CD\parallel MN$, стороны $BE$ и $MN$ сечения параллельны — значит $BNME$ трапеция.

Шаг 4. Боковые стороны: $EM=BN=\sqrt{4^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{16+27}=\sqrt{43}$ — равны, значит трапеция равнобедренная. Пункт а) доказан.

Шаг 5 (пункт б). Основания трапеции: $BE=8$ (большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 4), $MN=4$. Высота трапеции: $x=\sqrt{43-\left(\frac{8-4}{2}\right)^2}=\sqrt{39}$. Площадь сечения: $S=\dfrac{8+4}{2}\sqrt{39}=6\sqrt{39}$.

Шаг 6. Расстояние от вершины $F$ до плоскости $\alpha$ находится через прямоугольный треугольник, связанный с диагональю $AC=4\sqrt3$ основания и высотой $DM=3\sqrt3$: $h=\dfrac{2\sqrt3\cdot 3\sqrt3}{\sqrt{12+27}}=\dfrac{18}{\sqrt{39}}$.

Шаг 7. Объём: $V=\dfrac13\cdot \dfrac{18}{\sqrt{39}}\cdot 6\sqrt{39}=\dfrac{108}{3}=36$.

Пример 2. Прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, двугранный угол при ребре $AA_1$ равен $60^\circ$. а) Доказать, что $\angle BA_1C_1 > \angle BAC$. б) Расстояние между $AA_1$ и $BB_1$ равно 5, между $AA_1$ и $CC_1$ равно 8. Найти расстояние от $AA_1$ до плоскости $BC_1C$.

Шаг 1. Так как призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны основанию, и расстояние между параллельными рёбрами равно расстоянию между соответствующими точками основания: $AB=5$, $AC=8$. Двугранный угол при $AA_1$ равен углу $\angle BAC=60^\circ$ основания.

Шаг 2 (пункт а). Пусть $h=AA_1=BB_1=CC_1$. Треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ прямоугольные, поэтому $A_1B=\sqrt{AB^2+h^2}>AB$, $BC_1=\sqrt{BC^2+h^2}>BC$, а $A_1C_1=AC$. По теореме косинусов для обоих треугольников числитель в выражении для косинуса угла одинаков: $K=AB^2+AC^2-BC^2$, но знаменатель для угла $BA_1C_1$ больше ($2\cdot A_1B\cdot AC > 2\cdot AB\cdot AC$), значит $\cos\angle BA_1C_1<\cos\angle BAC$, откуда $\angle BA_1C_1>\angle BAC$.

Шаг 3 (пункт б). По теореме косинусов: $BC^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\cos60^\circ=89-40=49$, $BC=7$.

Шаг 4. Плоскость $BCC_1B_1$ содержит $CC_1\parallel AA_1$, значит $AA_1\parallel$ этой плоскости, и искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до плоскости $BCC_1$, то есть равно высоте из $A$ на сторону $BC$ в основании (так как боковая грань перпендикулярна основанию).

Шаг 5. Площадь основания: $S=\dfrac12\cdot5\cdot8\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3$. Высота из $A$: $h=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{20\sqrt3}{7}$.

Пример 3. Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, $AB=2\sqrt3$, высота $SH=3$. $M,N$ — середины $CD,AB$. $NT$ — высота пирамиды $NSCD$. а) Доказать, что $T$ — середина $SM$. б) Найти расстояние между $NT$ и $SC$.

Шаг 1. Введём координаты: $H(0,0,0)$, $A(-\sqrt3,-\sqrt3,0)$, $B(\sqrt3,-\sqrt3,0)$, $C(\sqrt3,\sqrt3,0)$, $D(-\sqrt3,\sqrt3,0)$, $S(0,0,3)$. Тогда $N(0,-\sqrt3,0)$, $M(0,\sqrt3,0)$.

Шаг 2. Плоскость $CD$ перпендикулярна плоскости $SMN$, так как $CD\perp MN$ (стороны квадрата и средняя линия) и $CD\perp SH$ (высота вертикальна). Значит, плоскость $SCD\perp$ плоскости $SMN$, и основание перпендикуляра из $N$ на плоскость $SCD$ лежит на прямой пересечения плоскостей — прямой $SM$.

Шаг 3. Параметризуем $SM$: $P(t)=(0,\ t\sqrt3,\ 3-3t)$. Из условия перпендикулярности $NP(t)$ направляющему вектору $SM=(0,\sqrt3,-3)$ получаем уравнение, решение которого $t=\dfrac12$ — это ровно середина отрезка $SM$. Пункт а) доказан: $T$ — середина $SM$.

Шаг 4 (пункт б). $T=\left(0,\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac32\right)$. Направляющий вектор $NT=T-N=\left(0,\dfrac{3\sqrt3}{2},\dfrac32\right)$, после упрощения $(0,\sqrt3,1)$.

Шаг 5. Направляющий вектор $SC=C-S=(\sqrt3,\sqrt3,-3)$, упростим делением на $\sqrt3$: $(1,1,-\sqrt3)$.

Шаг 6. Векторное произведение направляющих: $(0,\sqrt3,1)\times(1,1,-\sqrt3)=(-4,\,1,\,-\sqrt3)$, его модуль $\sqrt{16+1+3}=2\sqrt5$.

Шаг 7. Вектор между точками на прямых $N-S=(0,-\sqrt3,-3)$, скалярное произведение с векторным произведением: $0\cdot(-4)+(-\sqrt3)\cdot1+(-3)\cdot(-\sqrt3)=2\sqrt3$.

Шаг 8. Расстояние: $\rho=\dfrac{|2\sqrt3|}{2\sqrt5}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают расстояние от точки до плоскости с длиной наклонной или с высотой всей фигуры — нужно проверять, что отрезок действительно перпендикулярен плоскости.
• Используют параллельность или перпендикулярность без доказательства, хотя это как раз содержание пункта а) — за это снимают баллы даже при верном численном ответе.
• В комбинациях тел (пирамида и цилиндр, конус и шар) неверно определяют точку касания или центр вписанной/описанной фигуры.
• При построении сечения забывают, что след плоскости на параллельных гранях должен быть параллельным отрезком — это приводит к неверной форме сечения.
• В координатном методе выбирают неудобное начало координат, из-за чего вычисления усложняются и множатся арифметические ошибки.
• Не проверяют, что найденный угол — острый (косинус/синус угла между прямыми и плоскостями берут по модулю, а окончательный угол должен быть в диапазоне $[0^\circ;90^\circ]$).
• Путают формулы объёма пирамиды и призмы, забывают множитель $\dfrac13$.

Как готовиться

Составьте краткий справочник формул объёмов, площадей и расстояний и держите его перед глазами при тренировке. Разберите отдельно каждую базовую конфигурацию — куб, правильная призма, правильная пирамида, комбинация с цилиндром или шаром — и научитесь быстро вводить систему координат для каждой из них. Освойте оба подхода: синтетический (через дополнительные построения и теорему о трёх перпендикулярах) и координатный, чтобы на экзамене выбирать более быстрый в зависимости от условия. Решайте задачи по подтемам блоками — сначала все на сечения, затем все на расстояния, затем на углы, — так закрепляются устойчивые алгоритмы. Обязательно прорабатывайте оформление доказательства в пункте а): пишите полными предложениями, ссылайтесь на теоремы и свойства правильных фигур. Регулярно сверяйтесь с критериями оценивания реальных вариантов, чтобы понимать, какой объём обоснования считается достаточным.