Сечения призм в задании 14 ЕГЭ профиль: метод, алгоритм, разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 14 профильного ЕГЭ — стереометрическая задача из двух пунктов: а) доказательство некоторого факта (обычно про сечение, угол или перпендикулярность) и б) численный ответ (объём, площадь, периметр, расстояние). Подтема «Сечения призм» — одна из самых частых: в качестве тела берут правильную (реже наклонную) призму, а плоскость сечения задают через несколько точек — вершины, середины рёбер, точки деления в заданном отношении, либо через условие параллельности прямой или плоскости.

Смысл задачи всегда один: построить многоугольник, который получается при пересечении заданной плоскости с гранями призмы, доказать его вид (трапеция, параллелограмм, пятиугольник и т.д.), а затем вычислить требуемую величину — площадь сечения, объём отсечённой части, периметр сечения, угол между сечением и основанием и т.п. Такие задачи проверяют сразу три навыка: пространственное воображение, знание свойств правильных многоугольников и призм, и технику вычислений — теорему Пифагора, теорему косинусов, формулы площадей и объёмов.

Что нужно знать

1. Определение сечения. Сечение — многоугольник, стороны которого лежат на гранях призмы, а сам многоугольник получается пересечением тела с плоскостью.

2. Основное правило построения — параллельность следов. Если плоскость $\gamma$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, то линии пересечения параллельны: $\gamma\cap\alpha \parallel \gamma\cap\beta$. Это ключевой инструмент: у призмы верхнее и нижнее основания параллельны, поэтому линия сечения на одном основании параллельна линии сечения на другом.

3. Метод следов. Чтобы построить сечение, находят линию пересечения плоскости сечения с одной из граней, затем переходят к соседней грани через общее ребро, и так продолжают, пока многоугольник не замкнётся.

4. Условие параллельности прямой или плоскости. Если сказано, что плоскость сечения параллельна прямой $\ell$, то в той грани, где лежит уже известная точка сечения и направление, параллельное $\ell$, сторона сечения обязана быть параллельна $\ell$. Это сильная подсказка, которая почти всегда однозначно определяет недостающую сторону.

5. Свойства правильных многоугольников в основании.

• В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны; главная диагональ (между противоположными вершинами) равна удвоенной стороне; угол между соседними сторонами равен $120^\circ$.
• В правильном треугольнике все стороны равны, средняя линия равна половине стороны и параллельна ей.

6. Рабочие формулы.

• теорема Пифагора — для длины стороны сечения, если известны горизонтальная (в плоскости основания) и вертикальная (вдоль бокового ребра) составляющие;
• теорема косинусов — для диагоналей многоугольника основания;
• площадь трапеции: $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$;
• объём пирамиды: $V=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h$;
• если известен объём тетраэдра и площадь одной из его граней, высоту, опущенную на эту грань, находят как $h=\dfrac{3V}{S}$.

7. Признак вида четырёхугольника. Чтобы доказать, что сечение — трапеция, нужно показать ровно одну пару параллельных сторон (и убедиться, что вторая пара не параллельна). Чтобы доказать равнобедренность, дополнительно проверяют равенство боковых сторон — обычно через теорему Пифагора.

8. Координатный метод как запасной вариант. Если построение громоздкое, можно ввести систему координат (например, центр основания — в начале координат, ось $Oz$ вдоль бокового ребра), выписать координаты нужных точек, найти уравнение плоскости по трём точкам и находить пересечения с рёбрами через параметрическое уравнение прямой.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Сделать чертёж призмы, отметить все точки из условия — вершины, середины, точки деления рёбер в заданном отношении.

Шаг 2. Определить, через какие грани и рёбра проходит сечение — понять, какие из заданных точек лежат в одной грани, а какие в разных.

Шаг 3. Использовать условие параллельности (прямой или плоскости), чтобы через уже известную точку сечения провести направление, параллельное заданному, и найти новую точку на соседнем ребре.

Шаг 4. Достроить сечение методом следов: переходить от грани к грани, соединяя найденные точки, пока многоугольник не замкнётся.

Шаг 5. Для пункта а) доказать заявленный вид фигуры — установить параллельность нужных сторон через свойства основания и найти длины боковых сторон по теореме Пифагора, чтобы сравнить их.

Шаг 6. Для пункта б) вычислить нужную величину: площадь сечения (разбить на треугольники или трапеции), периметр (сумма длин сторон, каждая через теорему Пифагора), объём пирамиды или расстояние от точки до плоскости (через объём тетраэдра, вычисленный двумя способами).

Разбор примера

Пример 1. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ сторона основания $AB=4$, боковое ребро $AA_1=5\sqrt3$. На ребре $DD_1$ отмечена точка $M$ так, что $DM:MD_1=3:2$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $A_1F_1$ и проходит через точки $M$ и $E$. а) Докажите, что сечение — равнобедренная трапеция. б) Найдите объём пирамиды с вершиной $F$ и основанием — сечением.

Решение а). Так как $DM:MD_1=3:2$ и $DD_1=5\sqrt3$, получаем $DM=3\sqrt3$, $MD_1=2\sqrt3$. По условию $\alpha\parallel A_1F_1$, а в основании $A_1F_1\parallel CD$ (противоположные стороны шестиугольника параллельны). Значит, сторона сечения в грани $DD_1C_1C$ должна быть параллельна $CD$. Отмечаем на $CC_1$ точку $N$ так, что $MN\parallel CD$; из подобия треугольников в грани следует $CN=DM=3\sqrt3$. Сечение — четырёхугольник $BNME$: диагональ $BE$ правильного шестиугольника параллельна $CD$ (а значит и $MN$), поэтому $BE\parallel MN$ — одна пара сторон параллельна, значит $BNME$ — трапеция. Проверяем боковые стороны: $$EM=\sqrt{ED^2+DM^2}=\sqrt{4^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{16+27}=\sqrt{43},$$ $$BN=\sqrt{BC^2+CN^2}=\sqrt{4^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{43}.$$ Поскольку $EM=BN$, трапеция равнобедренная — пункт а) доказан.

Решение б). Основания трапеции: $BE=8$ (диагональ шестиугольника со стороной 4 равна удвоенной стороне) и $MN=CD=4$. Высота трапеции: $$x=\sqrt{EM^2-\left(\frac{BE-MN}{2}\right)^2}=\sqrt{43-4}=\sqrt{39}.$$ Площадь сечения: $$S_{BNME}=\frac{BE+MN}{2}\cdot x=\frac{8+4}{2}\sqrt{39}=6\sqrt{39}.$$ Расстояние от точки $F$ до плоскости $\alpha$ находится через вспомогательные построения (или объём тетраэдра, вычисленный двумя способами) и равно $h=\dfrac{18}{\sqrt{39}}$. Тогда объём искомой пирамиды: $$V=\frac13\cdot S_{BNME}\cdot h=\frac13\cdot 6\sqrt{39}\cdot\frac{18}{\sqrt{39}}=\frac13\cdot108=36.$$

Пример 2. В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ сторона равна 6, высота призмы 4. $N$ — середина $A_1C_1$. а) Постройте сечение плоскостью $BAN$. б) Найдите периметр сечения.

Построение. Точки $A$ и $B$ лежат в нижнем основании, поэтому отрезок $AB$ — одна сторона сечения. Плоскость пересекает боковую грань $AA_1C_1C$ по отрезку $AN$ (обе точки лежат в этой грани). Верхнее и нижнее основания параллельны, значит линия пересечения плоскости с верхним основанием параллельна $AB$ и проходит через $N$; так как $N$ — середина $A_1C_1$, эта линия по свойству средней линии треугольника $A_1B_1C_1$ пересекает $B_1C_1$ в его середине — обозначим её $K$. Сечение — четырёхугольник $ABKN$, где $NK$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$, то есть $NK=\dfrac12 A_1B_1=3$ и $NK\parallel AB$.

Периметр. $AB=6$, $NK=3$. Боковые стороны $AN$ и $BK$ находим по теореме Пифагора: горизонтальная проекция точки $N$ на нижнее основание — середина $AC$, расстояние от $A$ до неё равно $3$ (половина стороны), вертикальная составляющая равна высоте призмы 4: $$AN=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$ Аналогично $BK=5$. Периметр сечения: $$P=AB+BK+KN+NA=6+5+3+5=19.$$

Типичные ошибки

• Построение сечения «на глаз» без метода следов и без учёта параллельности параллельных граней — получают неверный многоугольник.
• Игнорирование условия параллельности прямой/плоскости при построении — а это обычно ключевая подсказка, которая однозначно определяет недостающую сторону сечения.
• Ошибки в делении отрезка в заданном отношении: путают, какая часть относится к какой точке (например, берут $DM$ как $2/5$ длины ребра вместо $3/5$).
• Констатация параллельности одной пары сторон без проверки, что вторая пара не параллельна (иначе фигура — параллелограмм, а не трапеция), либо отсутствие проверки равенства боковых сторон при доказательстве равнобедренности.
• Путаница в теореме Пифагора: неверно определяют, какой отрезок — горизонтальная (в плоскости основания) составляющая, а какой — вертикальная (вдоль бокового ребра).
• Использование высоты призмы вместо реального расстояния от вершины до плоскости сечения при вычислении объёма пирамиды.
• Неаккуратная работа с диагоналями правильного шестиугольника — путают малую и главную диагонали.
• Отсутствие проверки, что все найденные точки сечения действительно лежат в одной плоскости, при самостоятельном достраивании фигуры.

На что обратить внимание на экзамене

• Делайте крупный, аккуратный чертёж призмы со всеми отмеченными точками — от него зависит правильность построения сечения.
• Пункт а) оценивается отдельно от пункта б): даже если численный ответ не получен, чёткое доказательство вида сечения даёт гарантированные баллы.
• Всегда явно проверяйте условие параллельности — оно почти всегда задаёт направление недостающей стороны сечения.
• Держите в памяти свойства правильного шестиугольника (диагонали, параллельность сторон) и правильного треугольника (средняя линия) — они встречаются чаще всего.
• Если геометрическое построение вызывает сомнение, переходите на координатный метод — он медленнее, но надёжнее.
• Проверяйте правдоподобность численного ответа: отрицательное подкоренное выражение или нецелый неудобный результат почти всегда сигнализирует об ошибке в расчётах.
• Оформляйте решение по шагам, показывая логику построения сечения, а не только финальную формулу — это важно для полного балла за пункт а).