Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Сечения призм

Часть а) Доказательство, что сечение — равнобедренная трапеция

Нужно найти сечение плоскостью α, которая:

• проходит через точки M и E
• параллельна прямой $A_1F_1$

Строим сечение пошагово.

Шаг 1. На ребре $CC_1$ возьмём точку N так, чтобы $MN \parallel CD$.

Поскольку M находится на $DD_1$ с условием $DM : MD_1 = 3 : 2$, имеем $DM = 3$ (так как $AA_1 = 5\sqrt{3}$, то $DM = 3$ и $MD_1 = 2\sqrt{3}$... нет, пересчитаем: если соотношение 3:2, то $DM = \frac{3}{5} \cdot 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$). Тогда $CN = DM = 3\sqrt{3}$, так что N на $CC_1$ такая же высота.

Шаг 2. Линия MN параллельна стороне CD основания. По свойству параллельности, $MN \parallel CD$ и одновременно $MN \parallel A_1F_1$ (так как $A_1F_1 \parallel CD$ в правильном шестиугольнике).

Шаг 3. Четырёхугольник BNME — это сечение. В правильном шестиугольнике $BE \parallel AF$, и поскольку $MN \parallel CD \parallel AF$, получаем $BE \parallel MN$. Значит, BNME — трапеция (две стороны параллельны, две — нет).

Шаг 4. Проверим боковые стороны. В правильном шестиугольнике со стороной 4: $$EM = BN = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 27} = \sqrt{43}$$

Боковые стороны трапеции равны, поэтому BNME — равнобедренная трапеция.

---

Часть б) Объём пирамиды с вершиной F и основанием BNME

Шаг 1. Формула объёма пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{\text{основания}}$$

где $h$ — расстояние от F до плоскости α, $S_{\text{основания}} = S_{BNME}$.

Шаг 2. Найдём площадь трапеции BNME.

В правильном шестиугольнике $BE = 2 \cdot CD = 2 \cdot 4 = 8$ (BE — диаметр противоположных вершин).

Для высоты трапеции используем, что боковые стороны $EM = BN = \sqrt{43}$: $$x = \sqrt{43 - \left(\frac{8-4}{2}\right)^2} = \sqrt{43 - 4} = \sqrt{39}$$

Площадь трапеции: $$S_{BNME} = \frac{BE + MN}{2} \cdot x = \frac{8 + 4}{2} \cdot \sqrt{39} = 6\sqrt{39}$$

Шаг 3. Найдём расстояние от F до плоскости α.

Диагональ шестиугольника: $AC = \sqrt{4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120°} = \sqrt{16 + 16 + 16} = 4\sqrt{3}$.

Расстояние от C (или от F, так как они эквивалентны в проекции) до плоскости: $$h = \frac{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{12 + 27}} = \frac{18}{\sqrt{39}}$$

Шаг 4. Вычислим объём: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{18}{\sqrt{39}} \cdot 6\sqrt{39} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = \frac{108}{3} = 36$$