Задание 14 ЕГЭ: комбинации фигур — пирамиды, призмы и сферы

О чём эта подтема

Задание 14 профильного ЕГЭ часто строится на комбинации «многогранник + сфера»: в правильную пирамиду или призму вписывают шар, либо описывают сферу вокруг тела, либо соединяют два круглых тела с многогранником. Подтема «Комбинации фигур» объединяет именно такие задачи, где нужно связать метрические характеристики многогранника (боковое ребро, высоту, углы) с радиусом сферы или шара.

Стандартная структура задания — два пункта. В пункте а) требуется доказать геометрический факт: равенство отношения площадей заданному числу, неравенство для угла и т. п. В пункте б) нужно получить числовой ответ — площадь сферы, объём шара, радиус вписанного или описанного тела. Задание проверяет уверенное владение свойствами правильных многогранников, умение строить осевые сечения, применять теорему Пифагора и формулу объёма для поиска радиуса вписанной сферы, а также аккуратно работать с иррациональными выражениями.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно небольшого набора фактов.

Элементы правильной пирамиды. Если основание — правильный $n$-угольник со стороной $a$, то радиус описанной около основания окружности $R$ и радиус вписанной окружности (апофема основания) $r$ связаны со стороной формулами, специфичными для каждого $n$. Для правильного шестиугольника: $$R=a,\qquad r=\frac{a\sqrt3}{2}.$$ Для квадрата (правильный четырёхугольник): $$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac a2.$$

Связь бокового ребра, высоты и радиуса основания. Боковое ребро $l$, высота пирамиды $h$ и радиус описанной окружности основания $R$ образуют прямоугольный треугольник: $$l^2=h^2+R^2.$$

Апофема пирамиды (высота боковой грани, проведённая к стороне основания) $m$ связана с высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности основания: $$m^2=h^2+r^2.$$

Площади и объём. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $$S_{бок}=\frac12 P m,$$ где $P$ — периметр основания. Площадь полной поверхности: $$S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}.$$ Объём пирамиды: $$V=\frac13 S_{осн}h.$$

Радиус вписанной сферы через объём. Если сфера касается всех граней многогранника, то верна формула, аналогичная формуле радиуса вписанной окружности треугольника через площадь и полупериметр: $$V=\frac13 r\,S_{полн}\ \Longrightarrow\ r=\frac{3V}{S_{полн}}.$$ Эта формула — ключевой инструмент для нахождения радиуса вписанной сферы в любой многогранник, для которого такая сфера существует.

Площадь и объём сферы/шара. $$S_{сферы}=4\pi r^2,\qquad V_{шара}=\frac43\pi r^3.$$

Двугранный угол при основании. Угол $\beta$ между боковой гранью и плоскостью основания находится через прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $r$ (апофема основания): $$\tan\beta=\frac{h}{r}.$$ Поскольку тангенс монотонно возрастает на промежутке $(0^\circ;90^\circ)$, сравнение угла с заданным значением сводится к сравнению тангенса с $\tan 45^\circ=1$ или другим табличным значением.

Работа с иррациональностями. Итоговые ответы часто содержат корни в знаменателе — их нужно рационализировать умножением на сопряжённое выражение, чтобы получить компактный ответ, совпадающий по форме с ожидаемым.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить тип комбинации и выполнить чертёж — обычно достаточно осевого сечения пирамиды (или призмы), проходящего через её высоту и апофему боковой грани.
2. Найти сторону основания $a$ через известные величины (боковое ребро $l$, высоту $h$), используя $l^2=h^2+R^2$ и формулу $R(a)$ для конкретного правильного многоугольника.
3. Вычислить радиус вписанной окружности основания $r$ и апофему пирамиды $m$ по формуле $m^2=h^2+r^2$.
4. Найти площадь основания, площадь боковой поверхности и объём пирамиды.
5. Если нужна вписанная сфера — применить $r_{сферы}=\dfrac{3V}{S_{полн}}$; если нужна описанная сфера — построить прямоугольный треугольник с центром сферы, центром основания и вершиной пирамиды и применить теорему Пифагора.
6. Если пункт а) требует доказательства угла или отношения — выразить нужную величину алгебраически и сравнить с заданным числом, обосновывая переход монотонностью функции (например, тангенса) или прямым алгебраическим неравенством.
7. Довести числовой ответ до окончательного вида, рационализировав знаменатель при необходимости, и проверить знак и разумность полученного числа (например, выражение под корнем или в скобках должно быть положительным).

Разбор примера

Пример 1. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $10$, а высота равна $6$, вписана сфера. а) Докажите, что $S_{бок}:S_{осн}=\sqrt7:2$. б) Найдите площадь этой сферы.

Шаг 1. Сторона основания. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне: $R=a$. Из $l^2=h^2+R^2$ получаем $R^2=100-36=64$, значит $R=8$, а значит $a=8$.

Шаг 2. Радиус вписанной окружности основания. $r=\dfrac{a\sqrt3}{2}=4\sqrt3$.

Шаг 3. Апофема пирамиды. $m^2=h^2+r^2=36+48=84$, откуда $m=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$.

Шаг 4. Площади. Периметр основания $P=6a=48$. Тогда $$S_{бок}=\frac12 P m=\frac12\cdot48\cdot2\sqrt{21}=48\sqrt{21}.$$ Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$: $$S_{осн}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot64=96\sqrt3.$$

Шаг 5. Доказательство отношения. $$\frac{S_{бок}}{S_{осн}}=\frac{48\sqrt{21}}{96\sqrt3}=\frac{\sqrt{21}}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt7}{2},$$ что и требовалось доказать — отношение равно $\sqrt7:2$.

Шаг 6. Объём и радиус вписанной сферы. $$V=\frac13 S_{осн}h=\frac13\cdot96\sqrt3\cdot6=192\sqrt3.$$ Полная поверхность: $S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}=48\sqrt{21}+96\sqrt3=48(\sqrt{21}+2\sqrt3)$. $$r=\frac{3V}{S_{полн}}=\frac{576\sqrt3}{48(\sqrt{21}+2\sqrt3)}=\frac{12\sqrt3}{\sqrt{21}+2\sqrt3}.$$ Рационализируем, умножив на $(\sqrt{21}-2\sqrt3)$: знаменатель даёт $21-12=9$, числитель — $12\sqrt3(\sqrt{21}-2\sqrt3)=36\sqrt7-72$. Значит $$r=\frac{36\sqrt7-72}{9}=4\sqrt7-8=4(\sqrt7-2).$$

Шаг 7. Площадь сферы. $$r^2=16(\sqrt7-2)^2=16(11-4\sqrt7),$$ $$S=4\pi r^2=64\pi(11-4\sqrt7).$$ Это и есть искомый ответ.

Пример 2. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $10$, а высота равна $6$, вписана сфера. а) Докажите, что двугранный угол при основании больше $45^\circ$. б) Найдите площадь вписанной сферы.

Шаг 1. Сторона основания. Для квадрата $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$. Из $l^2=h^2+R^2$ получаем $R^2=100-36=64$, $R=8$, значит $\dfrac{a\sqrt2}{2}=8$, откуда $a=8\sqrt2$.

Шаг 2. Радиус вписанной окружности основания. $r=\dfrac a2=4\sqrt2$.

Шаг 3. Доказательство угла. Двугранный угол при основании удовлетворяет $\tan\beta=\dfrac{h}{r}=\dfrac{6}{4\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{4}$. Сравним это число с $1=\tan45^\circ$: $\dfrac{3\sqrt2}{4}>1\iff 3\sqrt2>4\iff 18>16$ — верно. Значит $\tan\beta>\tan45^\circ$, и в силу монотонности тангенса на $(0^\circ;90^\circ)$ имеем $\beta>45^\circ$, что и требовалось доказать.

Шаг 4. Апофема пирамиды. $m^2=h^2+r^2=36+32=68$, $m=2\sqrt{17}$.

Шаг 5. Площади и объём. $S_{осн}=a^2=128$. Периметр $P=4a=32\sqrt2$. $$S_{бок}=\frac12 Pm=\frac12\cdot32\sqrt2\cdot2\sqrt{17}=32\sqrt{34}.$$ $$V=\frac13 S_{осн}h=\frac13\cdot128\cdot6=256.$$

Шаг 6. Радиус вписанной сферы. $S_{полн}=32\sqrt{34}+128=32(\sqrt{34}+4)$. $$r=\frac{3V}{S_{полн}}=\frac{768}{32(\sqrt{34}+4)}=\frac{24}{\sqrt{34}+4}.$$ Умножаем на $(\sqrt{34}-4)$: знаменатель $34-16=18$, числитель $24(\sqrt{34}-4)$. Получаем $$r=\frac{24(\sqrt{34}-4)}{18}=\frac{4(\sqrt{34}-4)}{3}=\frac{4\sqrt{34}-16}{3}.$$

Шаг 7. Площадь сферы. $$r^2=\frac{16(\sqrt{34}-4)^2}{9}=\frac{16(50-8\sqrt{34})}{9}=\frac{800-128\sqrt{34}}{9}.$$ $$S=4\pi r^2=\frac{4\pi(800-128\sqrt{34})}{9}=\frac{128\pi(25-4\sqrt{34})}{9}.$$ Это совпадает с искомым ответом.

Типичные ошибки

• Путают радиус описанной около основания окружности $R$ (нужен для связи с боковым ребром) и радиус вписанной окружности $r$ (нужен для апофемы пирамиды и угла при основании) — для многоугольников с разным числом сторон эти величины связаны со стороной по-разному.
• Забывают, что для шестиугольника $R=a$, а не половина диагонали через несоседние вершины или иное выражение — это частая арифметическая ошибка.
• При доказательстве неравенства для угла ограничиваются сравнением чисел без ссылки на монотонность тригонометрической функции, что снижает строгость доказательства.
• Теряют множитель $\dfrac13$ в формуле объёма пирамиды или путают апофему пирамиды с боковым ребром.
• Применяют формулу $r=\dfrac{3V}{S_{полн}}$, не проверив, что сфера действительно вписана во все грани (в задачах ЕГЭ это обычно дано явно в условии, но при самостоятельной постановке задачи стоит перепроверять).
• Оставляют ответ с корнем в знаменателе, не рационализируя его — это усложняет сверку с ожидаемым видом ответа и повышает риск арифметической ошибки на следующем шаге.
• Не проверяют знак выражения под корнем или в скобках итогового ответа: если получилось отрицательное число там, где ожидается площадь, — где-то допущена ошибка.

На что обратить внимание на экзамене

• Всегда начинайте с чёткого чертежа: осевое сечение пирамиды, на котором видны высота $h$, апофема основания $r$, радиус описанной окружности $R$ и апофема боковой грани $m$ — это сразу подсказывает, какие прямоугольные треугольники использовать.
• Пункт а) — это доказательство, а не просто вычисление: фиксируйте цепочку равенств и неравенств так, чтобы из неё явно следовал финальный вывод.
• Держите под рукой формулы радиусов вписанной и описанной окружности для треугольника, квадрата и шестиугольника — это самые частые основания пирамид в задании 14.
• Проверяйте знак и разумность численного ответа: множители вида $(11-4\sqrt7)$ или $(25-4\sqrt{34})$ должны быть положительными, иначе где-то ошибка.
• Если в ответе появляется корень в знаменателе, сразу рационализируйте его умножением на сопряжённое — часто именно после этого шага получается «красивый» вид ответа, совпадающий с ожидаемым.
• Перепроверяйте объём двумя способами, если есть время: через $\frac13 S_{осн}h$ и, если возможно, через разбиение на пирамиды с вершиной в центре сферы — совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.