Расстояние между прямыми и плоскостями в задании 14 ЕГЭ

О чём эта подтема

В задании 14 пункт б) почти всегда заканчивается фразой «найдите расстояние...». Это может быть расстояние между скрещивающимися прямыми, от точки до плоскости, от прямой до параллельной ей плоскости или между параллельными плоскостями. Особенность таких задач в том, что пункт а) — доказательство какого-то факта (перпендикулярности, равенства отрезков, вида угла) — почти всегда является ключом к пункту б): доказанное свойство упрощает построение или задаёт удобную систему координат.

Главная трудность подтемы не в теории (она компактна), а в том, чтобы правильно выбрать метод решения: геометрическое построение перпендикуляра, метод объёма или координатный метод. Разные задачи поддаются разным подходам, и умение быстро оценить, какой путь короче, экономит время на экзамене.

Что нужно знать

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Часто удобно находить его через объём тетраэдра: $$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}.$$ Объём при этом можно посчитать «другим основанием» — тем, для которого высота известна или легко находится.

Расстояние от прямой до плоскости определено только когда прямая параллельна плоскости (иначе они пересекаются, и расстояние равно нулю). В этом случае расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости — удобно взять точку, для которой перпендикуляр строится проще всего.

Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной плоскости до другой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Есть три рабочих способа найти его:

1. Через параллельную плоскость. Через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. Тогда расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки второй прямой до этой плоскости.
2. Через объём. Если $a$ и $b$ — скрещивающиеся прямые, угол между ними $\varphi$, а $d$ — искомое расстояние, то объём тетраэдра, построенного на отрезках этих прямых длины $m$ и $n$, равен $$V=\frac{1}{6}\,m\,n\,d\,\sin\varphi.$$
3. Координатный метод. Если $\vec{d_1},\vec{d_2}$ — направляющие векторы прямых, а $M_1,M_2$ — точки на них, то $$d=\frac{\left|(\vec{M_1M_2})\cdot(\vec{d_1}\times\vec{d_2})\right|}{\left|\vec{d_1}\times\vec{d_2}\right|}.$$

Для вычислений пригодятся:

• формула площади треугольника $S=\frac12 ab\sin\gamma$ и теорема косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$;
• свойство прямой призмы: боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, поэтому расстояние между двумя параллельными боковыми рёбрами равно расстоянию между соответствующими вершинами основания;
• понимание двугранного угла: если из точки на ребре проведены два луча, перпендикулярных ребру, по одному в каждой грани, то угол между этими лучами и есть линейный угол двугранного угла.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определите тип объектов. Прямая и прямая — проверьте, пересекаются, параллельны или скрещиваются. Прямая и плоскость — проверьте параллельность (если прямая лежит в плоскости или пересекает её, задача становится другой).
2. Упростите постановку. Расстояние от прямой до плоскости или между плоскостями сведите к расстоянию от одной удобной точки.
3. Выберите метод. Если в фигуре легко считается объём подходящего тетраэдра — используйте метод объёма. Если удобно ввести координаты (правильная пирамида, призма с прямыми углами) — используйте координатный метод. Если можно явно построить общий перпендикуляр через сечение — используйте синтетический метод.
4. Используйте результат пункта а). Обычно доказанный факт (перпендикулярность, вид угла, положение середины отрезка) напрямую даёт нужную длину или направление в пункте б).
5. Проведите вычисления аккуратно, отдельно проверяя знаки в векторном произведении и скалярном произведении.
6. Проверьте ответ на правдоподобие: расстояние должно быть меньше длин рёбер, участвующих в задаче, и соответствовать «на глаз» видимой геометрии.

Разбор примера

Пример 1. Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен $60^\circ$. а) Докажите, что угол $BA_1C_1$ больше угла $BAC$. б) Расстояние между боковыми рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно $5$, расстояние между $AA_1$ и $CC_1$ равно $8$. Найдите расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BC_1C$.

Пункт а) решается без вычислений: поскольку призма прямая, $AA_1\perp ABC$, значит $AA_1\perp A_1B$ и $AA_1\perp A_1C_1$? Точнее, треугольник $A_1BC_1$ получается «наклонным» изображением треугольника $ABC$, а в прямоугольных треугольниках $ABB_1$ и т.п. стороны $A_1B>AB$ и $A_1C_1=AC$ за счёт прибавления высоты призмы через теорему Пифагора, что при той же противоположной стороне $BC_1$ (равной $BC$ по построению боковой грани прямоугольником) даёт увеличение угла напротив меньшей стороны — это стандартный аргумент «больше сторона — больше угол», подробно расписываемый через теорему косинусов в треугольниках $ABC$ и $A_1BC_1$.

Пункт б). Поскольку призма прямая, $AA_1\perp ABC$ и $BB_1\perp ABC$, а значит отрезок $AB$ перпендикулярен обеим прямым $AA_1$ и $BB_1$ — это и есть общий перпендикуляр, то есть расстояние между параллельными рёбрами $AA_1$ и $BB_1$ равно длине стороны $AB$. Аналогично расстояние между $AA_1$ и $CC_1$ равно $AC$. Значит: $$AB=5,\qquad AC=8.$$

Двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ — это угол между гранями $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$. Поскольку $AB\perp AA_1$ и $AC\perp AA_1$, линейным углом этого двугранного угла служит угол $BAC$. Значит $$\angle BAC=60^\circ.$$

Теперь найдём $BC$ по теореме косинусов: $$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 60^\circ=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,$$ $$BC=7.$$

Прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BC_1C$ (поскольку $AA_1\parallel BB_1$, а $BB_1$ лежит в этой плоскости). Значит расстояние от прямой $AA_1$ до плоскости $BC_1C$ равно расстоянию от любой точки прямой $AA_1$, например от точки $A$, до этой плоскости.

Так как призма прямая, плоскость $BCC_1B_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$ (она содержит перпендикуляры к основанию). Поэтому расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1B_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания — то есть высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$.

Найдём эту высоту через площадь треугольника $ABC$: $$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin 60^\circ=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3.$$ С другой стороны, $S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot h$, где $h$ — искомая высота. Отсюда $$h=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{20\sqrt3}{7}.$$

Ответ: $\dfrac{20\sqrt3}{7}$.

Пример 2. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=2\sqrt3$, высота $SH=3$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$, $NT$ — высота пирамиды $NSCD$ (вершина $N$, основание $SCD$). а) Докажите, что $T$ — середина $SM$. б) Найдите расстояние между прямыми $NT$ и $SC$.

Введём координаты: центр основания $H$ — начало координат, оси вдоль диагоналей квадрата, ось $Oz$ вдоль высоты. Сторона квадрата $a=2\sqrt3$, значит половина стороны — $\sqrt3$. Тогда $$A(-\sqrt3,-\sqrt3,0),\quad B(\sqrt3,-\sqrt3,0),\quad C(\sqrt3,\sqrt3,0),\quad D(-\sqrt3,\sqrt3,0),\quad S(0,0,3).$$ Середины: $N=(0,-\sqrt3,0)$ (середина $AB$), $M=(0,\sqrt3,0)$ (середина $CD$).

Пункт а). Найдём плоскость $SCD$ по точкам $S,C,D$. Векторы $\vec{SC}=(\sqrt3,\sqrt3,-3)$, $\vec{SD}=(-\sqrt3,\sqrt3,-3)$. Их векторное произведение: $$\vec{SC}\times\vec{SD}=(0,\;6\sqrt3,\;6)\;\parallel\;(0,\sqrt3,1).$$ Уравнение плоскости через точку $S(0,0,3)$ с нормалью $(0,\sqrt3,1)$: $$\sqrt3\,y+z-3=0.$$ Основание перпендикуляра из $N=(0,-\sqrt3,0)$ на эту плоскость находим стандартно: значение функции плоскости в $N$ равно $\sqrt3(-\sqrt3)+0-3=-6$, квадрат нормы нормали $=3+1=4$, поэтому $$T=N-\frac{-6}{4}(0,\sqrt3,1)=\left(0,\,-\sqrt3+\tfrac32\sqrt3,\,\tfrac32\right)=\left(0,\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac32\right).$$ С другой стороны, середина отрезка $SM$, где $S(0,0,3)$, $M(0,\sqrt3,0)$, равна $$\left(0,\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac32\right).$$ Координаты совпали — значит $T$ действительно середина $SM$, что и требовалось доказать.

Пункт б). Направляющий вектор $NT$: $\vec{NT}=T-N=\left(0,\dfrac{3\sqrt3}{2},\dfrac32\right)\parallel(0,\sqrt3,1)$ — это ожидаемо, ведь $NT$ перпендикулярна плоскости $SCD$, то есть параллельна её нормали.

Направляющий вектор $SC$: $\vec{d_2}=\vec{SC}=(\sqrt3,\sqrt3,-3)$.

Вектор между точками прямых, например $\vec{NS}=S-N=(0,\sqrt3,3)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{d_1}\times\vec{d_2}$, где $\vec{d_1}=(0,\sqrt3,1)$: $$\vec{d_1}\times\vec{d_2}=(-4\sqrt3,\;\sqrt3,\;-3).$$ Его длина: $$|\vec{d_1}\times\vec{d_2}|=\sqrt{48+3+9}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.$$ Скалярное произведение с $\vec{NS}$: $$\vec{NS}\cdot(\vec{d_1}\times\vec{d_2})=0\cdot(-4\sqrt3)+\sqrt3\cdot\sqrt3+3\cdot(-3)=3-9=-6.$$ Расстояние: $$d=\frac{|-6|}{2\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$$

Ответ: $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.

Типичные ошибки

• Путают произвольный отрезок между прямыми с расстоянием. Расстояние — это именно длина общего перпендикуляра (или минимум из всех соединяющих отрезков), а не длина случайно выбранного отрезка между точками на прямых.
• Не проверяют параллельность перед упрощением. Прежде чем сводить расстояние от прямой до плоскости к расстоянию от точки, нужно убедиться, что прямая действительно параллельна плоскости, а не пересекает её.
• Неверно определяют линейный угол двугранного угла. Берут произвольные отрезки вместо перпендикулярных к ребру — это разрушает всё дальнейшее вычисление (как в примере 1, где именно перпендикулярность $AB$ и $AC$ к $AA_1$ даёт равенство угла двугранного угла и угла $BAC$).
• Ошибки в векторном произведении. Путают порядок множителей (меняется знак) или неверно считают компоненты определителя — стоит всегда проверять результат через скалярное произведение с исходными векторами (должно быть равно нулю).
• Забывают проверить, что найденная точка лежит в нужной плоскости — полезно подставить координаты найденного основания перпендикуляра в уравнение плоскости.
• Путают высоту пирамиды с апофемой (высотой боковой грани) — это разные отрезки, и подмена одного другим искажает все дальнейшие расчёты.

На что обратить внимание на экзамене

При выборе метода ориентируйтесь на структуру фигуры: если легко ввести координаты (правильные пирамиды, призмы с прямыми углами, кубы) — координатный метод почти всегда надёжнее синтетического, особенно под давлением времени, так как сводит задачу к формулам без риска ошибиться в построении. Если координаты вводить неудобно, ищите способ через объём тетраэдра — часто он короче.

Всегда используйте результат пункта а): в разборанных примерах именно доказанные факты (величина угла $BAC$, положение точки $T$) стали отправной точкой для вычислений в пункте б). Если не удаётся сходу понять, как связаны пункты, попробуйте вычислить нужные величины независимо — само доказательство иногда подсказывает удобную систему координат или ключевое равенство длин.

После получения ответа проверяйте его на правдоподобие: сравните полученное расстояние с характерными размерами фигуры (сторонами, высотами) — если число оказалось больше самого длинного ребра, велика вероятность ошибки в вычислениях или в выборе точек для векторов.

Наконец, аккуратно оформляйте промежуточные шаги: в координатном методе — покомпонентно, в геометрическом — с явным указанием, какой отрезок является перпендикуляром и почему. Экзаменатор оценивает не только финальный ответ, но и обоснованность каждого шага.