Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между прямыми и плоскостями

а) Так как $BC=25,\,CN=8$, то $BN=17$; так как $AD=25,\,AK=8$, то $KD=17$. Значит $BN=KD$ и $BN\parallel KD$ (стороны прямоугольника). Пусть $O=BD\cap NK$. Треугольники $OBN$ и $ODK$ равны по стороне и двум углам ($BN=KD$, углы при $O$ вертикальные, углы при $B$ и $D$ накрест лежащие при $BN\parallel KD$). Значит $OB=OD$, то есть $O$ — середина $BD$.

Все боковые рёбра равны $5\sqrt{17}$. Проверим треугольник $BSD$: $$BD^2=AB^2+AD^2=15^2+25^2=850,\qquad BS^2+SD^2=2\left(5\sqrt{17}\right)^2=2\cdot25\cdot17=850.$$ Равенство $BS^2+SD^2=BD^2$ по обратной теореме Пифагора означает, что угол $S$ в треугольнике $BSD$ прямой, то есть $SD\perp SB$.

Плоскость $\alpha\perp SB$, а $SD\perp SB$, значит $SD\parallel\alpha$ (прямая, перпендикулярная той же прямой, что и плоскость, и не лежащая в ней, параллельна плоскости). Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $BSD$ по прямой, проходящей через $O$; так как $SD\parallel\alpha$, эта линия пересечения параллельна $SD$. Прямая, проходящая через середину $BD$ параллельно $SD$, — средняя линия треугольника $BSD$, она проходит через середину $SB$, то есть через $M$. Значит $M\in\alpha$, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $\alpha$ содержит $KM$ и прямую $OM$, параллельную $SD$, значит вся плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SD$. Поэтому расстояние между скрещивающимися $SD$ и $KM$ равно расстоянию от прямой $SD$ до плоскости $\alpha$, то есть расстоянию от точки $S$ до $\alpha$.

Так как $SB\perp\alpha$ и $M\in SB\cap\alpha$, отрезок $SM$ перпендикулярен $\alpha$ и его длина и есть искомое расстояние: $$d(SD,KM)=SM=\frac12 SB=\frac{5\sqrt{17}}{2}.$$