Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между прямыми и плоскостями

а) Возьмём на медиане (она же высота) $CN$ равностороннего треугольника середину $K$ отрезка $BN$. Тогда $MK$ — средняя линия треугольника $BCN$ (M — середина BC, K — середина BN), поэтому $MK\parallel CN$ и $MK=\tfrac12 CN$.

Медиана равностороннего треугольника со стороной 4: $CN=\dfrac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3$, значит $MK=\sqrt3$.

Так как $MK\parallel CN$, угол между $DM$ и $CN$ равен углу между $DM$ и $MK$, то есть углу $\angle DMK$ (или смежному с ним).

Посчитаем стороны треугольника $DMK$, используя, что $CD\perp$ плоскости $ABC$: $DM=\sqrt{CD^2+CM^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt6$ (т.к. $CM=BC/2=2$, а $CD\perp CM$).

$DN=\sqrt{CD^2+CN^2}=\sqrt{2+12}=\sqrt{14}$ (т.к. $CD\perp CN$).

Поскольку $CN$ — высота треугольника, $CN\perp AB$, а $NK$ лежит на прямой $AB$, значит $NK\perp CN$, и, так как $CD\perp$ основанию, то и $NK\perp DN$. Тогда $DK=\sqrt{DN^2+NK^2}=\sqrt{14+1}=\sqrt{15}$ (здесь $NK=NB/2=1$).

Применим теорему косинусов в треугольнике $DMK$: $$DK^2=DM^2+MK^2-2\,DM\cdot MK\cos\angle DMK$$ $$15=6+3-2\sqrt6\cdot\sqrt3\cos\angle DMK \Rightarrow 6=-6\sqrt2\cos\angle DMK$$ $$\cos\angle DMK=-\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow \angle DMK=135^\circ.$$

Угол между прямыми — острый (или смежный) угол, то есть $180^\circ-135^\circ=45^\circ$, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $DMK$ содержит $DM$ и параллельна $CN$ (так как содержит $MK\parallel CN$). Значит расстояние между скрещивающимися $DM$ и $CN$ равно расстоянию от любой точки прямой $CN$, например точки $C$, до плоскости $DMK$ — это высота $h_C$ тетраэдра $DCMK$, опущенная из $C$ на грань $DMK$.

Найдём объём $V_{DCMK}$ через основание $CMK$ и высоту $CD$ (т.к. $CD\perp$ плоскости основания, где лежит треугольник $CMK$).

Площадь $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot4^2=4\sqrt3$. Так как $M,K$ — середины соответствующих отрезков, последовательным делением площадей пополам получаем $S_{CMK}=\dfrac18 S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Тогда $$V_{DCMK}=\frac13 S_{CMK}\cdot CD=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt2=\frac{\sqrt6}{6}.$$

Площадь грани $DMK$: $$S_{DMK}=\frac12 DM\cdot MK\cdot\sin\angle DMK=\frac12\cdot\sqrt6\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac32.$$

Высота из $C$: $$h_C=\frac{3V_{DCMK}}{S_{DMK}}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt6}{6}}{\frac32}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

Это и есть искомое расстояние между прямыми $DM$ и $CN$.