Угол между плоскостями граней многогранника — задание 14 профильного ЕГЭ

О чём эта подтема

Задание 14 профильного уровня почти всегда состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно что-то доказать (перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность двух прямых, параллельность и т.п.), а в пункте б) — найти числовую характеристику: угол или расстояние. Подтема «угол между плоскостями граней многогранника» относится именно ко второй части задания.

Речь идёт о нахождении угла между двумя плоскостями, каждая из которых задаётся тремя точками — это могут быть вершины многогранника, середины его рёбер или точки на диагоналях. Часто одна из плоскостей — это грань куба, призмы или пирамиды, а вторая — сечение, проходящее через несколько вершин. По определению угол между плоскостями — это наименьший из углов, которые образуются при их пересечении, то есть величина от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Такие задачи почти всегда эффективнее всего решать методом координат: он избавляет от необходимости строить сложные пространственные чертежи и сводит задачу к вычислениям с векторами.

Что нужно знать

Для решения задач этого типа нужен небольшой, но чётко зафиксированный набор фактов.

1. Определение угла между плоскостями. Если $\alpha$ и $\beta$ — две плоскости, а $n_1$, $n_2$ — их векторы нормали, то угол $\varphi$ между плоскостями находится по формуле $$\cos\varphi = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1|\,|n_2|}.$$ Модуль в числителе обязателен: угол между плоскостями по определению острый или прямой, а скалярное произведение нормалей может дать и тупой угол — модуль это исправляет.

2. Скалярное произведение векторов. Для векторов $n_1=(x_1,y_1,z_1)$ и $n_2=(x_2,y_2,z_2)$: $$n_1\cdot n_2 = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2, \qquad |n|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

3. Векторное произведение — способ найти нормаль плоскости. Если плоскость задана точкой и двумя неколлинеарными векторами $u=(u_1,u_2,u_3)$ и $v=(v_1,v_2,v_3)$, лежащими в этой плоскости, то нормаль к ней: $$n = u\times v = \left(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\right).$$ Этот вектор перпендикулярен обоим векторам $u$ и $v$, а значит — всей плоскости.

4. Признак перпендикулярности прямой и плоскости через координаты. Прямая перпендикулярна плоскости тогда и только тогда, когда её направляющий вектор коллинеарен нормали плоскости, то есть пропорционален ей: $\vec{d} = k\cdot n$ для некоторого числа $k$.

5. Умение вводить систему координат в кубе (призме, пирамиде). Для куба самый удобный способ — направить оси вдоль рёбер, выходящих из одной вершины, и считать ребро равным 1 (или $a$, если нужно сохранить общий вид — но так как угол не зависит от масштаба, единицу выбирать разрешено).

6. Понимание того, что угол не зависит от длины ребра. Так как формула для $\cos\varphi$ однородна по координатам (нормали можно умножать на любое число), удобно всегда полагать ребро равным 1.

Дополнительно полезно помнить геометрический (безкоординатный) способ через линейный угол двугранного угла, но на экзамене почти всегда быстрее и надёжнее координатный метод, особенно для куба и прямоугольного параллелепипеда.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на угол между плоскостями граней многогранника методом координат состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Ввести систему координат. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ удобно взять начало в вершине $A$ и направить оси вдоль рёбер $AB$, $AD$, $AA_1$. Ребро куба принимаем равным 1. Тогда координаты всех вершин легко выписываются: $$A(0,0,0),\; B(1,0,0),\; C(1,1,0),\; D(0,1,0),$$ $$A_1(0,0,1),\; B_1(1,0,1),\; C_1(1,1,1),\; D_1(0,1,1).$$

Шаг 2. Выписать координаты точек, задающих каждую из плоскостей. Если плоскость проходит через вершину и середину ребра — координаты середины находятся как среднее арифметическое координат концов.

Шаг 3. Найти два вектора, лежащих в каждой плоскости, и вычислить их векторное произведение — это даст нормаль к плоскости.

Шаг 4. Вычислить косинус угла между нормалями по формуле $\cos\varphi = \dfrac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1|\,|n_2|}$.

Шаг 5. Если требуется, использовать тот же координатный аппарат для доказательства в пункте а). Например, для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости достаточно показать, что направляющий вектор прямой пропорционален найденной нормали плоскости — часто эта нормаль уже вычислена в пункте а) и используется повторно в пункте б).

Шаг 6. Записать ответ в виде $\arccos(\dots)$ либо, если косинус выражается через табличное значение, — в виде градусной меры.

Важно: при вычислении нормали через векторное произведение порядок множителей не имеет значения для нахождения угла (меняется лишь знак нормали, а он «съедается» модулем в формуле).

Разбор примера

Пример 1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$: а) докажите, что плоскость $BA_1C_1$ и прямая $B_1D$ перпендикулярны; б) найдите косинус угла между плоскостями $BA_1C_1$ и $BA_1D_1$.

Решение. Введём координаты, как описано выше, приняв ребро куба равным 1: $$B(1,0,0),\; A_1(0,0,1),\; C_1(1,1,1),\; D_1(0,1,1),\; D(0,1,0),\; B_1(1,0,1).$$

а) Доказательство перпендикулярности. Найдём нормаль к плоскости $BA_1C_1$. Возьмём векторы $$\vec{BA_1}=(-1,0,1), \qquad \vec{BC_1}=(0,1,1).$$ Вычислим их векторное произведение: $$n_1=\vec{BA_1}\times\vec{BC_1}=(0\cdot1-1\cdot1,\; 1\cdot0-(-1)\cdot1,\; -1\cdot1-0\cdot0)=(-1,\,1,\,-1).$$

Теперь найдём направляющий вектор прямой $B_1D$: $$\vec{B_1D}=D-B_1=(0-1,\,1-0,\,0-1)=(-1,1,-1).$$

Вектор $\vec{B_1D}$ совпал с нормалью $n_1$ — значит, прямая $B_1D$ параллельна нормали плоскости $BA_1C_1$, то есть перпендикулярна самой плоскости. Утверждение доказано.

б) Угол между плоскостями $BA_1C_1$ и $BA_1D_1$. Нормаль первой плоскости уже найдена: $n_1=(-1,1,-1)$.

Найдём нормаль второй плоскости $BA_1D_1$. Точки: $B(1,0,0)$, $A_1(0,0,1)$, $D_1(0,1,1)$. Векторы: $$\vec{BA_1}=(-1,0,1), \qquad \vec{BD_1}=(-1,1,1).$$ Векторное произведение: $$n_2=\vec{BA_1}\times\vec{BD_1}=(0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot(-1)-(-1)\cdot1,\;-1\cdot1-0\cdot(-1))=(-1,\,0,\,-1).$$

Вычислим косинус угла между плоскостями: $$n_1\cdot n_2 = (-1)(-1)+1\cdot0+(-1)(-1)=1+0+1=2,$$ $$|n_1|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3, \qquad |n_2|=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2.$$ $$\cos\varphi=\frac{|2|}{\sqrt3\cdot\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt6}=\sqrt{\frac{4}{6}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Ответ: $\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Пример 2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. а) Докажите, что прямые $B_1D$ и $AC$ перпендикулярны; б) найдите угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $ACD_1$.

Решение. Используем ту же систему координат.

а) Доказательство перпендикулярности прямых. Направляющие векторы: $$\vec{B_1D}=(-1,1,-1), \qquad \vec{AC}=C-A=(1,1,0).$$ Скалярное произведение: $$\vec{B_1D}\cdot\vec{AC}=(-1)\cdot1+1\cdot1+(-1)\cdot0=-1+1+0=0.$$ Поскольку скалярное произведение равно нулю, прямые перпендикулярны. Доказано.

б) Угол между плоскостями $AB_1D_1$ и $ACD_1$. Плоскость $AB_1D_1$: точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$. Векторы: $$\vec{AB_1}=(1,0,1), \qquad \vec{AD_1}=(0,1,1).$$ Нормаль: $$n_1=\vec{AB_1}\times\vec{AD_1}=(0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-0\cdot0)=(-1,-1,1).$$

Плоскость $ACD_1$: точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$. Векторы: $$\vec{AC}=(1,1,0), \qquad \vec{AD_1}=(0,1,1).$$ Нормаль: $$n_2=\vec{AC}\times\vec{AD_1}=(1\cdot1-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-1\cdot0)=(1,-1,1).$$

Вычислим косинус угла: $$n_1\cdot n_2=(-1)(1)+(-1)(-1)+(1)(1)=-1+1+1=1,$$ $$|n_1|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3, \qquad |n_2|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3.$$ $$\cos\varphi=\frac{|1|}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{1}{3}.$$

Ответ: $\varphi=\arccos\dfrac{1}{3}$.

Оба примера показывают общую схему: сначала находим нормали к обеим плоскостям через векторное произведение пары векторов, лежащих в плоскости, затем применяем формулу косинуса угла между нормалями с модулем.

Типичные ошибки

Забыть модуль в формуле косинуса. Скалярное произведение нормалей может оказаться отрицательным, и тогда без модуля получится тупой угол — а угол между плоскостями по определению не может быть больше $90^\circ$. Модуль числителя — обязательная часть формулы.

Перепутать вектор нормали с вектором, лежащим в плоскости. Нормаль должна быть перпендикулярна всей плоскости, а не быть просто «одним из векторов сторон». Проверяйте себя: скалярное произведение найденной нормали с любым вектором внутри плоскости должно равняться нулю.

Ошибки в вычислении векторного произведения. Часто путают порядок вычитания в формуле $n=(u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1)$ — рекомендуется всегда проверять результат, вычисляя скалярные произведения $n\cdot u$ и $n\cdot v$: оба должны быть равны нулю.

Неправильный выбор системы координат. Если оси направлены не вдоль рёбер многогранника, а произвольно, координаты вершин усложняются и растёт риск арифметической ошибки. Всегда выбирайте оси вдоль естественных рёбер фигуры, выходящих из одной вершины.

Путаница между двугранным углом и углом между плоскостями. Двугранный угол при ребре многогранника может быть тупым (например, во вписанных или скошенных фигурах), тогда как угол между плоскостями — всегда острый или прямой. Если в задаче явно спрашивается «угол между плоскостями», ответом должен быть острый угол (или $90^\circ$), даже если геометрически видимый двугранный угол тупой.

Ошибки при нахождении координат «производных» точек. Середины рёбер, точки пересечения диагоналей граней и центры граней вычисляются как среднее арифметическое координат соответствующих вершин; ошибка в этих вычислениях сразу «портит» весь дальнейший ответ.

Неверное упрощение корней и дробей. В финальном ответе часто нужно привести выражение вида $\dfrac{2}{\sqrt6}$ к более простому виду $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ — важно не потерять множитель и не перепутать знак под корнем.

На что обратить внимание на экзамене

На экзамене координатный метод в задании 14 полностью легален и не требует дополнительных обоснований «почему так можно» — комиссия принимает решения через векторы и координаты наравне с чисто геометрическими. Тем не менее стоит явно и аккуратно прописать все шаги: ввести систему координат с указанием направления осей и начала отсчёта, выписать координаты всех задействованных точек, показать вычисление векторов и их произведений, а не просто дать готовый ответ.

Перед тем как вводить координаты, полезно сделать набросок многогранника — это помогает не ошибиться, какие именно точки задают каждую плоскость, особенно если в условии фигурируют середины рёбер или точки на диагоналях.

Если в пункте а) уже была найдена нормаль одной из плоскостей (например, для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости), эту нормаль стоит переиспользовать в пункте б) — это экономит время и снижает риск ошибки.

Всегда держите в голове, что длина ребра многогранника при вычислении угла роли не играет — можно смело принимать её равной 1, если в условии не задано иное (или если ответ не зависит от масштаба, что почти всегда так для углов).

В конце обязательно проверяйте разумность ответа: косинус угла должен лежать в пределах от 0 до 1 (после взятия модуля), а сам угол — быть острым либо прямым. Если получилось отрицательное значение косинуса без взятия модуля или значение больше 1 — где-то допущена вычислительная ошибка, и стоит перепроверить координаты точек и порядок действий в векторном произведении.