Задание 14: сечения пирамид через диагональ основания

О чём эта подтема

Задание 14 профильного ЕГЭ по стереометрии часто строится вокруг правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$, у которой нужно найти площадь сечения, проходящего через вершину $S$ и диагональ основания. Такое сечение — треугольник, лежащий в диагональной плоскости пирамиды. Задача обычно состоит из двух пунктов: пункт а) — доказательство некоторого утверждения о пирамиде (соотношение высоты, ребра, диагонали), пункт б) — вычисление конкретной величины (площади сечения, площади боковой поверхности и т.п.).

Ключевая идея: диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — это треугольник, в котором основание равно диагонали квадрата, а высота треугольника равна высоте самой пирамиды. Именно эта простая геометрическая связь позволяет свести стереометрическую задачу к плоской.

Что нужно знать

1. Свойства правильной четырёхугольной пирамиды. Основание — квадрат со стороной $a$. Все боковые рёбра равны. Вершина $S$ проецируется в центр квадрата — точку пересечения диагоналей $O$. Высота пирамиды $h = SO$ перпендикулярна плоскости основания.

2. Диагональ квадрата. Если сторона квадрата равна $a$, диагональ равна $$d = a\sqrt{2}.$$ Если площадь основания $S_{осн} = a^2$, то $$d = \sqrt{2 S_{осн}}.$$

3. Диагональное сечение. Сечение, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания, например $AC$, — это треугольник $ASC$. Точка $O$ (центр квадрата) лежит на диагонали $AC$ и является серединой этой диагонали. Отрезок $SO$ — высота пирамиды и одновременно высота треугольника $ASC$, опущенная на основание $AC$ (так как $SO \perp$ плоскости основания, значит $SO \perp AC$).

Площадь такого сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} d h.$$

4. Площадь боковой и полной поверхности. Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из четырёх равных треугольников с общей высотой (апофемой) $m$: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot m = 2am,$$ где $m$ — апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины $S$ к середине стороны основания).

Полная поверхность: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 2am.$$

5. Связь апофемы, высоты пирамиды и половины стороны. Апофема — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h$ (высота пирамиды) и $\dfrac{a}{2}$ (расстояние от центра основания до середины стороны): $$m^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2.$$

6. Связь бокового ребра, высоты и половины диагонали. Боковое ребро $l = SA$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $h$ и половиной диагонали $\dfrac{d}{2}$: $$l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}.$$

Эти три формулы ($m$, $l$, $d$) — основной геометрический инструментарий для всех задач на диагональные сечения.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Введите обозначения. Пусть сторона основания равна $a$, высота пирамиды — $h$, апофема — $m$. Через них выразите все данные условия.

Шаг 2. Запишите формулы площадей.

• $S_{осн} = a^2$;
• $S_{бок} = 2am$;
• $S_{полн} = a^2 + 2am$;
• диагональ основания $d = a\sqrt{2}$.

Шаг 3. Свяжите $m$ и $h$. Используйте $m^2 = h^2 + \dfrac{a^2}{4}$, чтобы при необходимости перейти от апофемы к высоте пирамиды или обратно.

Шаг 4. Выполните пункт а) — доказательство. Обычно требуется доказать равенство или неравенство типа «высота равна диагонали» или «ребро больше стороны». Для этого:

• выразите обе величины через $a$ и $h$ (или через $a$ и данные условия);
• составьте уравнение или неравенство и покажите, что оно выполняется при данных условиях задачи.

Шаг 5. Найдите площадь сечения (пункт б). Площадь диагонального сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} d h = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot h.$$ Подставьте найденные (или доказанные) значения $a$ и $h$.

Шаг 6. Проверьте согласованность величин. Убедитесь, что найденные $a$, $h$, $m$ дают именно те площади, что указаны в условии — это защитит от арифметических ошибок.

Разбор примера

Пример 1

Условие. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $108$, площадь полной поверхности равна $144$. а) Докажите, что высота пирамиды равна диагонали основания. б) Найдите площадь сечения, проходящего через вершину $S$ и диагональ основания.

Решение.

Пусть сторона основания $a$, апофема $m$, высота пирамиды $h$.

Шаг 1. Из условия: $$S_{бок} = 2am = 108, \qquad S_{полн} = a^2 + S_{бок} = 144.$$ Отсюда $$a^2 = 144 - 108 = 36 \;\Rightarrow\; a = 6.$$

Шаг 2. Найдём апофему: $$2 \cdot 6 \cdot m = 108 \;\Rightarrow\; m = 9.$$

Шаг 3. Найдём высоту пирамиды из соотношения $m^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$: $$81 = h^2 + 9 \;\Rightarrow\; h^2 = 72 \;\Rightarrow\; h = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$$

Шаг 4 (пункт а). Диагональ основания: $$d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.$$ Сравнивая с $h = 6\sqrt{2}$, получаем $h = d$, что и требовалось доказать.

Шаг 5 (пункт б). Площадь сечения через вершину $S$ и диагональ: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 72 = 36.$$

Ответ: $36$.

Пример 2

Условие. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $64$, площадь сечения через вершину $S$ и диагональ основания тоже равна $64$. а) Докажите, что боковое ребро пирамиды больше стороны основания. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Шаг 1. Из площади основания: $$a^2 = 64 \;\Rightarrow\; a = 8.$$ Диагональ основания: $$d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}.$$

Шаг 2. Площадь сечения: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} d h = 64.$$ Подставим $d = 8\sqrt{2}$: $$\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot h = 64 \;\Rightarrow\; 4\sqrt{2}\, h = 64 \;\Rightarrow\; h = \frac{64}{4\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}.$$

Шаг 3 (пункт а). Найдём боковое ребро: $$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} = (8\sqrt{2})^2 + \frac{64}{2} = 128 + 32 = 160.$$ $$l = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}.$$ Сравним $l$ и $a$: $a = 8$, а $l = 4\sqrt{10} \approx 12{,}65$. Так как $4\sqrt{10} > 8$ (проверка: $160 > 64$), то $l > a$ — доказано.

Шаг 4 (пункт б). Найдём апофему $m$ из $m^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$: $$m^2 = 128 + 16 = 144 \;\Rightarrow\; m = 12.$$

Шаг 5. Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 2am = 2 \cdot 8 \cdot 12 = 192.$$

Ответ: б) $192$.

Типичные ошибки

1. Путаница между апофемой и боковым ребром. Апофема — высота боковой грани (треугольника), проведённая к стороне основания; боковое ребро — отрезок от вершины пирамиды до вершины основания. Это разные отрезки с разными формулами связи с $h$: апофема связана с половиной стороны, ребро — с половиной диагонали.

2. Ошибка в высоте сечения. Часто путают высоту пирамиды $h = SO$ с апофемой $m$ при вычислении площади диагонального сечения. Для сечения через диагональ основания высотой треугольника является именно $h$ (высота пирамиды), а не апофема, поскольку $O$ лежит на диагонали, а не на середине стороны.

3. Неверная формула диагонали. Диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, а не $a\sqrt{3}$ или просто $2a$ — эту формулу нужно помнить твёрдо.

4. Забывают, что $O$ — середина диагонали. Из-за этого неверно считают площадь сечения, беря не всю диагональ, а только её половину, или наоборот, дублируют длину.

5. Ошибки в извлечении корней и работе с $\sqrt{2}$. При выражении $h$ через $m$ и $a$ или наоборот легко допустить арифметическую ошибку — рекомендуется всегда подставлять найденные числа обратно в исходные формулы для проверки.

6. Пренебрежение доказательной частью (пункт а). Даже если ответ в пункте б) верный, при отсутствии обоснования в пункте а) баллы снижаются. Нужно явно выписать оба сравниваемых выражения и показать равенство или неравенство численно или алгебраически.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задач на диагональные сечения пирамид держите под рукой три ключевые формулы: диагональ квадрата $d = a\sqrt{2}$, связь апофемы с высотой $m^2 = h^2 + (a/2)^2$ и связь бокового ребра с высотой $l^2 = h^2 + (d/2)^2$. Основной приём — свести стереометрию к работе с треугольником $ASC$ (или аналогичным), где высота пирамиды становится высотой этого треугольника.

Всегда начинайте с введения переменных $a$, $h$, $m$ и выражения всех данных условия через них — это упорядочивает решение и снижает риск путаницы. После получения численных значений подставьте их обратно во все исходные формулы, чтобы убедиться в согласованности (площадь основания, боковой поверхности, полной поверхности должны совпадать с условием).

В пункте а) не ограничивайтесь констатацией факта — распишите цепочку равенств или неравенств явно, опираясь на введённые переменные. В пункте б) перед финальным вычислением площади сечения убедитесь, что вы используете именно высоту пирамиды, а не апофему, и именно полную диагональ, а не её половину. Аккуратная работа с радикалами (особенно $\sqrt{2}$) — частый источник потери баллов, поэтому промежуточные вычисления стоит проверять дважды.