Сечения параллелепипедов в задании 14: метод координат и площадь

О чём эта подтема

В задании 14 часто встречается такая конструкция: дан прямоугольный параллелепипед, на его рёбрах отмечены точки в заданном отношении, через несколько точек (вершины и/или точки на рёбрах) проводится секущая плоскость. Требуется (а) доказать какое-то свойство сечения — что оно параллелограмм, что плоскость проходит через определённую вершину, что сечение имеет какой-то особый вид — и (б) найти площадь этого сечения.

Прямоугольный параллелепипед удобен тем, что все рёбра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Это значит, что почти всегда выгодно вводить прямоугольную систему координат с началом в одной из вершин и осями вдоль трёх рёбер. Тогда вся геометрическая задача — построение сечения, доказательство утверждения о нём, вычисление площади — превращается в алгебру: находим координаты точек, составляем уравнение плоскости, ищем точки пересечения этой плоскости с рёбрами фигуры, а площадь считаем через векторное произведение. Это самый надёжный и наименее ошибкоопасный путь для сечений параллелепипедов на экзамене.

Что нужно знать

Координаты вершин. Если рёбра параллелепипеда, выходящие из вершины $A$, равны $AB=a$, $AD=b$, $AA_1=c$ и взаимно перпендикулярны, удобно положить $$A=(0,0,0),\ B=(a,0,0),\ D=(0,b,0),\ A_1=(0,0,c),$$ а остальные вершины получить сложением соответствующих векторов: $C=(a,b,0)$, $B_1=(a,0,c)$, $D_1=(0,b,c)$, $C_1=(a,b,c)$.

Точка, делящая ребро в данном отношении. Если точка $M$ лежит на ребре $PQ$ и делит его в отношении $PM:MQ=m:n$, считая от $P$, то $$M = P + \dfrac{m}{m+n}(Q-P).$$ Важно внимательно читать, от какой вершины считается отношение — это частая причина ошибок.

Уравнение плоскости через три точки. Если плоскость проходит через точки $P_1,P_2,P_3$, берём два вектора в этой плоскости, например $\vec{u}=P_2-P_1$, $\vec{v}=P_3-P_1$, находим нормаль $$\vec n = \vec u \times \vec v = (n_1,n_2,n_3),$$ и уравнение плоскости записывается как $$n_1(x-x_1)+n_2(y-y_1)+n_3(z-z_1)=0.$$

Проверка принадлежности точки плоскости. Чтобы доказать, что плоскость проходит через некоторую вершину или точку, достаточно подставить её координаты в уравнение плоскости и убедиться, что равенство выполняется.

Поиск пересечения плоскости с рёбрами. Каждое ребро параметризуется как $R(t)=P+t(Q-P)$, $t\in[0,1]$. Подставляя в уравнение плоскости, находим $t$. Если $t\in[0,1]$, точка пересечения реально лежит на ребре и является вершиной сечения; если $t$ вне отрезка $[0,1]$ — плоскость этого ребро не пересекает.

Ключевой факт о параллелепипеде. Противоположные грани параллелепипеда параллельны. Поэтому, если секущая плоскость пересекает две противоположные грани, линии пересечения на этих гранях обязательно параллельны друг другу. Это часто сразу даёт пару параллельных сторон сечения — полезно и для доказательства, что сечение параллелограмм, и для проверки правильности построения.

Площадь плоского многоугольника через векторное произведение. Площадь треугольника с вершинами $P_1,P_2,P_3$ равна $$S=\dfrac12\left|\,(P_2-P_1)\times(P_3-P_1)\,\right|.$$ Площадь произвольного плоского четырёхугольника (и вообще многоугольника) удобно находить, разбив его диагональю на два треугольника и сложив их площади. Для параллелограмма с вершиной $P_1$ и сторонами, выходящими из неё, векторами $\vec u,\vec v$, площадь равна просто $|\vec u\times \vec v|$ — без деления на два.

Доказательство параллелограмма. Четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм, если $\vec{KL}=\vec{NM}$ (вектор одной стороны равен вектору противоположной), либо если середины его диагоналей совпадают.

Как решать: метод и алгоритм

1. Вводим координаты. Помещаем начало в удобную вершину (обычно ту, из которой выходят три известных ребра), оси — вдоль рёбер параллелепипеда. Выписываем координаты всех восьми вершин.

2. Находим координаты заданных точек на рёбрах по формуле деления отрезка в данном отношении, аккуратно следя за направлением отношения.

3. Составляем уравнение секущей плоскости по трём известным точкам через векторное произведение.

4. Если нужно доказать, что плоскость проходит через ещё одну точку (например, вершину), просто подставляем её координаты в уравнение плоскости и проверяем равенство.

5. Находим все вершины сечения. Перебираем рёбра параллелепипеда (их 12) и для каждого проверяем, пересекает ли плоскость это ребро внутри отрезка ($t\in[0,1]$). У прямоугольного параллелепипеда сечение — многоугольник от треугольника до шестиугольника; обычно в задаче уже даны 2–3 вершины сечения, и нужно найти оставшиеся.

6. Упорядочиваем вершины сечения по контуру — для этого удобно смотреть, на каких гранях лежат соседние вершины: если две точки сечения лежат на рёбрах одной и той же грани, отрезок между ними — сторона сечения, лежащая в этой грани.

7. Доказываем нужное свойство (параллелограмм, прохождение через вершину и т.п.) через сравнение векторов сторон или прямую проверку координат.

8. Считаем площадь — через одно векторное произведение (если сечение параллелограмм) или разбиением на треугольники (если сечение — общий четырёхугольник или многоугольник с большим числом сторон).

Этот алгоритм работает одинаково для любых конфигураций — не нужно запоминать частные геометрические приёмы для каждого вида сечения.

Разбор примера

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны $AB=8$, $AD=7$, $AA_1=5$. Точка $W$ на ребре $DD_1$ делит его в отношении $DW:WD_1=1:4$. а) Докажите, что сечение плоскостью $CWA_1$ — параллелограмм. б) Найдите площадь сечения.

Координаты. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(8,0,0)$, $D=(0,7,0)$, $A_1=(0,0,5)$. Тогда $C=(8,7,0)$, $D_1=(0,7,5)$. Так как $DW:WD_1=1:4$ и $DD_1=5$, получаем $DW=1$, значит $W=(0,7,1)$.

Уравнение плоскости. Возьмём точку $C=(8,7,0)$ за базовую и векторы $$\vec{CW}=W-C=(-8,0,1),\qquad \vec{CA_1}=A_1-C=(-8,-7,5).$$ Нормаль: $$\vec n=\vec{CW}\times\vec{CA_1}=(7,\,32,\,56).$$ Уравнение плоскости: $7x+32y+56z=280$ (проверяется подстановкой всех трёх точек).

Поиск четвёртой вершины сечения. Проверим ребро $BB_1$: точки вида $(8,0,t)$, $t\in[0,5]$. Подставляя: $56+56t=280\Rightarrow t=4$. Значит плоскость пересекает $BB_1$ в точке $V=(8,0,4)$, причём $t=4\in[0,5]$ — точка действительно лежит на ребре.

Доказательство параллелограмма. Рассмотрим четырёхугольник $A_1VCW$: $$\vec{A_1V}=V-A_1=(8,0,-1),\qquad \vec{WC}=C-W=(8,0,-1).$$ Векторы равны, значит сторона $A_1V$ параллельна и равна стороне $WC$ — это и есть признак параллелограмма. Тем самым пункт а) доказан.

Площадь. Возьмём стороны, выходящие из вершины $A_1$: $$\vec{A_1V}=(8,0,-1),\qquad \vec{A_1W}=W-A_1=(0,7,-4).$$ $$\vec{A_1V}\times\vec{A_1W}=(7,\,32,\,56).$$ $$S=\left|\vec{A_1V}\times\vec{A_1W}\right|=\sqrt{7^2+32^2+56^2}=\sqrt{49+1024+3136}=\sqrt{4209}.$$

Ответ: $S=\sqrt{4209}$.

Пример 2. На ребре $AA_1$ точка $E$ такая, что $A_1E:EA=5:3$, на ребре $BB_1$ точка $F$ такая, что $B_1F:FB=5:11$, $T$ — середина $B_1C_1$. Известно $AB=6\sqrt2$, $AD=10$, $AA_1=16$. а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через $D_1$. б) Найдите площадь сечения.

Координаты. $A=(0,0,0)$, $B=(6\sqrt2,0,0)$, $D=(0,10,0)$, $A_1=(0,0,16)$, тогда $B_1=(6\sqrt2,0,16)$, $C_1=(6\sqrt2,10,16)$, $D_1=(0,10,16)$.

Из отношения $A_1E:EA=5:3$ при $AA_1=16$ получаем $EA=6$, значит $E=(0,0,6)$. Из $B_1F:FB=5:11$ получаем $FB=11$, значит $F=(6\sqrt2,0,11)$. Середина $B_1C_1$: $T=(6\sqrt2,5,16)$.

Уравнение плоскости. Векторы из $E$: $$\vec{EF}=(6\sqrt2,0,5),\qquad \vec{ET}=(6\sqrt2,5,10).$$ $$\vec n=\vec{EF}\times\vec{ET}=(-25,\,-30\sqrt2,\,30\sqrt2).$$ Уравнение плоскости через $E=(0,0,6)$: $$-25x-30\sqrt2\,y+30\sqrt2\,z=180\sqrt2.$$

Проверка точки $D_1=(0,10,16)$: $$-30\sqrt2\cdot10+30\sqrt2\cdot16=30\sqrt2\cdot6=180\sqrt2.$$ Равенство выполняется — плоскость проходит через $D_1$, пункт а) доказан.

Проверка остальных рёбер показывает, что других точек пересечения нет (например, ребро $CC_1$ даёт $t=21\notin[0,16]$), поэтому сечение — четырёхугольник $EFTD_1$, стороны которого последовательно лежат в гранях $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $A_1B_1C_1D_1$ и $ADD_1A_1$.

Площадь. Разбиваем четырёхугольник диагональю $ET$ на треугольники $EFT$ и $ETD_1$.

$$\vec{EF}\times\vec{ET}=(-25,-30\sqrt2,30\sqrt2),\quad |\cdot|=\sqrt{625+1800+1800}=\sqrt{4225}=65.$$ $$S_{EFT}=\dfrac{65}{2}=32{,}5.$$

$$\vec{ED_1}=(0,10,10),\qquad \vec{ET}\times\vec{ED_1}=(-50,-60\sqrt2,60\sqrt2),\quad|\cdot|=\sqrt{2500+7200+7200}=\sqrt{16900}=130.$$ $$S_{ETD_1}=\dfrac{130}{2}=65.$$

$$S=S_{EFT}+S_{ETD_1}=32{,}5+65=97{,}5.$$

Ответ: $S=97{,}5$.

Типичные ошибки

• Путаница в направлении отношения. Запись $A_1E:EA=5:3$ и $EA:A_1E=5:3$ дают разные точки — всегда проверяйте, от какой вершины считается отношение, и переводите его в конкретную длину отрезка.
• Пропуск проверки $t\in[0,1]$. Решение уравнения для пересечения с прямой, содержащей ребро, может дать точку вне отрезка — такую точку нельзя брать в сечение.
• Неверный порядок вершин при вычислении площади. Площадь через векторное произведение или разбиение на треугольники корректна только для последовательных (соседних по контуру) вершин; если перепутать порядок, площадь получится другой или отрицательной по знаку (что не страшно, знак берём по модулю, но форма многоугольника исказится).
• Ошибки в векторном произведении. Часто путают знаки при вычислении определителя $2\times2$ внутри координат нормали — стоит всегда расписывать компоненты по формуле $\vec u\times \vec v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)$ и проверять подстановкой всех исходных точек в итоговое уравнение плоскости.
• Забывают воспользоваться параллельностью граней. Если видно, что сечение задевает две противоположные грани, линии пересечения на них параллельны — это можно и нужно использовать как быструю проверку правильности найденных точек, а иногда и как готовый аргумент для доказательства параллелограмма без явного вычисления векторов.
• Неверная система координат. Оси должны идти строго вдоль трёх взаимно перпендикулярных рёбер, выходящих из одной вершины; для прямоугольного параллелепипеда это всегда возможно, но легко перепутать, какое ребро — какая ось, особенно при обозначениях типа $AD$, $AB$, $AA_1$.

На что обратить внимание на экзамене

Выберите систему координат сразу, до начала вычислений, и выпишите координаты всех восьми вершин параллелепипеда — это займёт минуту, но убережёт от путаницы дальше. Держите все величины в точном виде (корни, дроби), не округляйте на промежуточных шагах — упрощение и извлечение корня делайте только в самом конце, иначе накопится погрешность и ответ разойдётся с эталонным.

После построения плоскости обязательно переберите все 12 рёбер параллелепипеда (или хотя бы те, что не были уже отмечены заданными точками), чтобы не пропустить дополнительные вершины сечения — недостроенное сечение даёт неверную площадь, даже если формула площади применена правильно.

При доказательстве параллелограмма ищите не только равенство векторов противоположных сторон, но и проверяйте разумность результата: если стороны получились нулевой длины или совпадающими точками, значит где-то ошибка в координатах или в уравнении плоскости.

В конце обязательно сверьте порядок величины ответа: площадь сечения параллелепипеда с рёбрами порядка 5–16 не может получиться, скажем, равной $0{,}01$ или $10000$ — грубая прикидка сразу покажет ошибку в вычислениях.