Угол между плоскостями в задании 14 ЕГЭ (профиль): теория и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 14 ЕГЭ профильного уровня почти всегда состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно что-то доказать (перпендикулярность, параллельность, отношение отрезков), а в пункте б) — вычислить угол или расстояние. Угол между плоскостями — одна из самых частых формулировок пункта б). Речь идёт о ситуации, когда даны две плоскости (например, плоскость сечения многогранника и плоскость одной из его граней), и нужно найти угол, под которым они пересекаются.

Главная особенность этой подтемы: почти всегда её удобнее решать координатным (векторным) методом, а не «синтетически» через построение линейного угла двугранного угла. Синтетический способ красивый, но требует удачного дополнительного построения, а на экзамене время ограничено. Координатный метод работает по единому алгоритму независимо от конкретной фигуры — куб, призма, пирамида. Ниже разобраны именно те факты и шаги, которые нужны для решения такой задачи, без лишней теории.

Что нужно знать

Определение угла между плоскостями. Если две плоскости пересекаются, угол между ними — это наименьший из углов, которые образуют плоскости при пересечении, то есть значение от $0^\circ$ до $90^\circ$ (угол всегда берётся острым или прямым, никогда тупым).

Формула через нормали. Если $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ — векторы, перпендикулярные соответственно первой и второй плоскости (нормали), то угол $\varphi$ между плоскостями находится по формуле $$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}.$$ Модуль в числителе обязателен: именно он гарантирует, что получится острый угол, а не тупой.

Как найти вектор нормали. Если плоскость задана тремя точками $A$, $B$, $C$ (или двумя точками и направлением, которому она параллельна), то нужно взять два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, и найти их векторное произведение: $$\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC}.$$ Если плоскость задана уравнением $ax+by+cz+d=0$, нормаль — это вектор $(a,b,c)$.

Векторное произведение в координатах. Для векторов $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ и $\vec b=(b_1,b_2,b_3)$: $$\vec a\times\vec b = (a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1).$$

Скалярное произведение и длина вектора. $\vec a\cdot\vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$, $|\vec a| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.

Система координат для стандартных фигур. Для куба и прямоугольного параллелепипеда координаты вершин вводятся напрямую по ребрам (оси $x,y,z$ вдоль трёх рёбер, выходящих из одной вершины). Для правильной призмы с треугольным основанием одну вершину помещают в начало координат, одну сторону основания — на ось $x$, а высоту треугольника — на ось $y$; вертикальное ребро идёт по оси $z$. Такая система остаётся декартовой (ортонормированной с точностью до масштаба по осям, если рёбра равны), и в ней формулы работают без искажений.

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая с направляющим вектором $\vec d$ параллельна плоскости с нормалью $\vec n$, если $\vec d\cdot\vec n = 0$ (вектор направления лежит «внутри» плоскости направлений, перпендикулярен нормали). Это условие часто используется, чтобы построить саму плоскость сечения по описанию из условия.

Как решать: метод и алгоритм

1. Ввести систему координат. Выбрать вершину многогранника за начало координат, направить оси вдоль ребер так, чтобы координаты остальных вершин считались легко (без синусов и косинусов, если это возможно).

2. Найти координаты всех нужных точек. В том числе точек деления рёбер, середин, точек пересечения сечения с ребрами — часто их нужно находить из условия (параллельность, заданное отношение отрезков).

3. Определить, какие две плоскости участвуют в задаче. Обычно это плоскость сечения (описанная словами в условии) и плоскость одной из граней фигуры.

4. Найти нормаль к каждой плоскости.

• Если плоскость — это грань многогранника, часто её нормаль очевидна из системы координат (например, плоскость $x=0$ имеет нормаль $(1,0,0)$).
• Если плоскость сечения задана несколькими точками, взять два вектора, лежащих в ней, и посчитать их векторное произведение.
• Если плоскость сечения задана точками и условием параллельности прямой, использовать эту прямую как один из направляющих векторов плоскости.

5. Подставить нормали в формулу косинуса угла между плоскостями, обязательно взять модуль скалярного произведения.

6. Довести ответ до нужного вида. Если в ответе нужен арктангенс, а получен косинус, использовать соотношение $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ и $\tan\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$.

7. Проверить правдоподобность ответа: угол должен получиться от $0^\circ$ до $90^\circ$, а числовое значение — не противоречить наглядной картинке (например, для куба углы редко бывают близки к $90^\circ$ в «нетривиальных» сечениях).

Разбор примера

Пример 1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны $4$. На ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB=3$. Через точки $K$ и $C_1$ построена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$. Требуется найти угол между $\alpha$ и плоскостью грани $BB_1C_1C$ (пункт а, доказательство отношения $A_1P:PB_1=2:1$, разберём по пути).

Шаг 1. Координаты. Положим $A=(0,0,0)$, $B=(4,0,0)$, $C=(4,4,0)$, $D=(0,4,0)$, а верхние вершины сдвинуты на $4$ по оси $z$: $A_1=(0,0,4)$, $B_1=(4,0,4)$, $C_1=(4,4,4)$, $D_1=(0,4,4)$.

Шаг 2. Точка $K$. Поскольку $KB=3$ и $K$ лежит на $BB_1$ (вертикальный отрезок от $B$ вверх), $K=(4,0,3)$.

Шаг 3. Построение плоскости $\alpha$. В плоскости лежит вектор $\vec{KC_1}=C_1-K=(0,4,1)$. Плоскость параллельна прямой $BD_1$, значит направляющий вектор этой прямой $\vec{BD_1}=D_1-B=(-4,4,4)$, или пропорциональный ему $\vec d=(-1,1,1)$, тоже «лежит в направлениях» плоскости $\alpha$ (перпендикулярен её нормали).

Шаг 4. Нормаль к $\alpha$. $$\vec n_1 = \vec{KC_1}\times \vec d = (0,4,1)\times(-1,1,1) = (4\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-0\cdot1,\ 0\cdot1-4\cdot(-1)) = (3,-1,4).$$

Шаг 5. Уравнение плоскости $\alpha$. Через точку $K=(4,0,3)$: $3(x-4)-1(y-0)+4(z-3)=0$, то есть $3x-y+4z-24=0$.

Проверка отношения из пункта а). Точка $P$ лежит на ребре $A_1B_1$, значит $P=(x,0,4)$. Подставляя в уравнение: $3x+16-24=0\Rightarrow x=\dfrac{8}{3}$. Тогда $A_1P=\dfrac83$, $PB_1=4-\dfrac83=\dfrac43$, и $A_1P:PB_1=2:1$ — то, что требовалось доказать.

Шаг 6. Нормаль к плоскости $BB_1C_1C$. Все точки этой грани имеют координату $x=4$, значит её нормаль $\vec n_2=(1,0,0)$.

Шаг 7. Косинус угла. $$\cos\varphi = \frac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} = \frac{|3|}{\sqrt{9+1+16}\cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{26}}.$$

Шаг 8. Перевод в тангенс. $\sin\varphi=\sqrt{1-\dfrac{9}{26}}=\sqrt{\dfrac{17}{26}}$, значит $$\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{\sqrt{17/26}}{3/\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{17}}{3}.$$

Ответ: $\varphi=\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt{17}}{3}$ — совпадает с требуемым.

Пример 2. Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $6$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_1$ и $A_1C_1$. Нужно доказать $BM\perp MN$ и найти угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$.

Шаг 1. Координаты. Основание — правильный треугольник со стороной $6$, высота треугольника $3\sqrt3$. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(3,3\sqrt3,0)$, а верхние вершины сдвинуты на $6$ по оси $z$: $A_1=(0,0,6)$, $B_1=(6,0,6)$, $C_1=(3,3\sqrt3,6)$.

Шаг 2. Точки $M$, $N$. $M$ — середина $AA_1$: $M=(0,0,3)$. $N$ — середина $A_1C_1$: $N=\left(1.5,\ 1.5\sqrt3,\ 6\right)$.

Шаг 3. Проверка перпендикулярности (пункт а). $\vec{BM}=M-B=(-6,0,3)$, $\vec{MN}=N-M=(1.5,1.5\sqrt3,3)$. Скалярное произведение: $-6\cdot1.5+0\cdot1.5\sqrt3+3\cdot3=-9+9=0$ — векторы перпендикулярны, значит $BM\perp MN$.

Шаг 4. Нормаль к плоскости $BMN$. Дополнительно нужен вектор $\vec{BN}=N-B=(-4.5,1.5\sqrt3,6)$. $$\vec n_1=\vec{BM}\times\vec{BN} = (0\cdot6-3\cdot1.5\sqrt3,\ 3\cdot(-4.5)-(-6)\cdot6,\ (-6)\cdot1.5\sqrt3-0\cdot(-4.5))$$ $$= (-4.5\sqrt3,\ 22.5,\ -9\sqrt3).$$ Удобно упростить, умножив на $-\dfrac29$: $\vec n_1'=(\sqrt3,\ -5,\ 2\sqrt3)$ — та же плоскость, другая по длине нормаль.

Шаг 5. Нормаль к плоскости $ABB_1$. Точки $A,B,B_1$ имеют координату $y=0$ — плоскость $y=0$, нормаль $\vec n_2=(0,1,0)$.

Шаг 6. Косинус и синус угла. $$|\vec n_1'| = \sqrt{3+25+12}=\sqrt{40}=2\sqrt{10},\qquad \vec n_1'\cdot\vec n_2=-5.$$ $$\cos\varphi = \frac{5}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{4}.$$ Тогда $\sin\varphi = \sqrt{1-\dfrac{10}{16}} = \sqrt{\dfrac{6}{16}} = \sqrt{\dfrac38}$.

Ответ: $\varphi=\arcsin\sqrt{\dfrac38}$ — совпадает с требуемым.

Типичные ошибки

• Забывают модуль в формуле косинуса. Без модуля скалярное произведение может быть отрицательным, тогда получится тупой угол — а угол между плоскостями всегда острый или прямой.
• Путают вектор нормали с вектором, лежащим в плоскости. Нормаль перпендикулярна плоскости, а не параллельна ей; при векторном произведении важно брать именно два вектора из плоскости, а не саму нормаль как один из множителей.
• Неверно строят сечение. Если плоскость сечения описана словами («плоскость, параллельная такой-то прямой»), нужно аккуратно использовать условие параллельности через равенство $\vec d\cdot\vec n=0$, а не угадывать положение секущей плоскости на глаз.
• Ошибки в системе координат при наклонных фигурах (например, у правильной призмы с треугольным основанием забывают, что вторая ось идёт не под $90^\circ$ к стороне, если координаты выбраны неаккуратно — высота треугольника считается по формуле $\dfrac{\sqrt3}{2}a$).
• Путают, какую грань образует плоскость. Например, считают нормаль грани $BB_1C_1C$ вдоль оси, отличной от той, вдоль которой реально постоянна координата этой грани.
• Неверный переход между тригонометрическими функциями. При переводе косинуса в тангенс или синус забывают, что $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ для угла из $[0^\circ;90^\circ]$ оба неотрицательны, поэтому корень берётся со знаком «плюс».

На что обратить внимание на экзамене

Пункты а) и б) в 14-м задании оцениваются отдельно, поэтому если не удаётся строго доказать факт из пункта а), стоит всё равно перейти к вычислению угла в пункте б) — координатный метод для этого не требует ссылки на утверждение из пункта а), достаточно корректно построить координаты и обосновать положение всех точек.

При выборе системы координат для куба или прямоугольного параллелепипеда удобно сразу совмещать начало координат с той вершиной, из которой выходят три рёбра, участвующих в условии — это сокращает число дальнейших вычислений. Для правильной призмы с треугольным основанием стоит один раз запомнить стандартную раскладку (сторона на ось $x$, высота треугольника на ось $y$, боковое ребро на ось $z$) и использовать её без раздумий.

При проверке ответа полезно прикинуть на глаз, насколько «острый» угол получился: если по формуле выходит косинус, близкий к нулю (угол близок к $90^\circ$), а по картинке плоскости выглядят почти параллельными, это сигнал перепроверить вычисления — вероятно, где-то потеряли знак или перепутали координаты точки.

Следует всегда доводить окончательный ответ до формы, которая прямо сравнима с ожидаемым видом (арктангенс, арксинус или арккосинус) — часто в критериях ответ дан в одном виде, а после честного вычисления получается эквивалентное, но визуально другое выражение; в этом случае нужно явно показать преобразование через основное тригонометрическое тождество, чтобы эксперт увидел, что ответы совпадают.

Наконец, не стоит пренебрегать письменным оформлением: явно укажите выбранную систему координат, координаты всех задействованных точек, векторы нормалей и промежуточные вычисления скалярного и векторного произведений — это не только помогает не запутаться самому, но и даёт полный балл по критериям даже при небольшой опечатке в финальном числе.