Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Пусть ребро куба $AB=a$.

а) Рассмотрим треугольник $A_1BK$.

• $A_1B$ — диагональ грани, поэтащей квадрату $AA_1B_1B$, значит $A_1B=a\sqrt2$.
• $K$ — середина $C_1D_1$, поэтому в прямоугольном треугольнике $A_1D_1K$ катет $D_1K=\dfrac a2$, а $A_1D_1=a$, следовательно $A_1K=\sqrt{a^2+\left(\dfrac a2\right)^2}=\dfrac{a\sqrt5}{2}$.
• Аналогично из прямоугольного треугольника $BCK$ (где $CK=\dfrac a2$, $BC=a\sqrt2$ — диагональ основания, а точнее $BK$ находим как гипотенузу) получаем $BK=\sqrt{(a\sqrt2)^2+\left(\dfrac a2\right)^2}=\dfrac{3a}{2}$.

По теореме косинусов в треугольнике $A_1BK$: $$\cos\angle A_1BK=\dfrac{A_1B^2+BK^2-A_1K^2}{2\cdot A_1B\cdot BK}=\dfrac{1}{\sqrt2}.$$ Отсюда $\sin\angle A_1BK=\dfrac{1}{\sqrt2}$. Если $A_1H$ — высота треугольника, опущенная из $A_1$ на $BK$, то $$A_1H=A_1B\cdot\sin\angle A_1BK=a\sqrt2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=a,$$ что и требовалось доказать — расстояние от $A_1$ до прямой $BK$ равно ребру куба.

б) Площадь треугольника $A_1BK$: $$S_{A_1BK}=\dfrac12\cdot A_1H\cdot BK=\dfrac12\cdot a\cdot\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3}{4}a^2.$$

Плоскость $BCC_1$ содержит грань $BCC_1B_1$; ортогональной проекцией треугольника $A_1BK$ на эту плоскость служит треугольник $BB_1C_1$ (так как $A_1\to B_1$, $K\to C_1$ при проектировании вдоль ребра, перпендикулярного плоскости $ABB_1$). Его площадь равна половине площади грани: $$S_{BB_1C_1}=\dfrac12 a^2.$$

Косинус угла между плоскостью проекции и исходной плоскостью равен отношению площадей проекции и оригинала: $$\cos\alpha=\dfrac{S_{BB_1C_1}}{S_{A_1BK}}=\dfrac{\frac12a^2}{\frac34a^2}=\dfrac23.$$

Следовательно, искомый угол между плоскостями $KBA_1$ и $BCC_1$ равен $\alpha=\arccos\dfrac23$.