Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Плоскость $KLMC$ пересекает параллельные плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ по параллельным прямым, значит $LM\parallel KC$ — это основания трапеции. Прямые $KL$ и $MC$ пересекаются в точке $P$; так как $KL$ лежит в грани $ABB_1A_1$, точка $P$ может находиться только на линии пересечения этой грани с гранью $BCC_1B_1$, то есть на ребре $BB_1$. Поскольку $LM=\frac12 KC$, отрезок $LM$ — средняя линия треугольника $PKC$, значит $L$ — середина $PK$, а $M$ — середина $PC$. Из равенства прямоугольных треугольников $PB_1M$ и $CC_1M$ (по гипотенузе и катету) получаем $B_1M=MC_1$, то есть $M$ — середина $B_1C_1$.

б) Площадь трапеции: $S=\dfrac{LM+KC}{2}\cdot LH$, откуда $12\sqrt2=\dfrac{4+8}{2}LH\Rightarrow LH=2\sqrt2$.

Треугольник $PKC$ равнобедренный ($PK=2LK=2MC=KC$), поэтому треугольники $PBK$ и $PBC$ равны, откуда $BK=BC$ и $B_1L=B_1M=\dfrac{BC}{2}$.

Пусть $O$ — середина $KC$. В прямоугольном равнобедренном треугольнике $BKC$ медиана $BO$ является и высотой: $BO=\dfrac12 KC=4$. Так как $L,M$ — середины $PK,PC$, отрезок $PO$ вдвое больше высоты трапеции: $PO=2LH=4\sqrt2$, и $PO\perp KC$, $BO\perp KC$, значит угол $POB$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $KLM$ и $ABC$.

$\cos\angle POB=\dfrac{BO}{PO}=\dfrac{4}{4\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, следовательно $\angle POB=45^\circ$.