Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Продолжим $KL$ до пересечения с прямой $CD$ в точке $P$. Из подобия треугольников с общей вершиной $L$ получаем $\dfrac{PC}{CL}=\dfrac{KB}{BL}=\dfrac13$, а так как $CL=\dfrac13BC$, то $PC=\dfrac16BC$. Тогда $PD=PC+CD=\dfrac76BC$, значит $\dfrac{DP}{PC}=7$.

Теперь через $P$ и $M$ проведём прямую до пересечения со стороной $SD$ в точке $T$ и применим теорему Менелая к треугольнику $CSD$ и прямой $P\!-\!M\!-\!T$: $$\frac{DP}{PC}\cdot\frac{CM}{MS}\cdot\frac{ST}{TD}=1.$$ Подставив $\dfrac{DP}{PC}=7$ и $\dfrac{CM}{MS}=\dfrac17$, получаем $\dfrac{ST}{TD}=1$, то есть $T$ — середина $SD$. Точки $K,L,M,T$ лежат в одной плоскости (по построению), значит плоскость $KLM$ проходит через середину $SD$.

б) Пусть $H$ — проекция $T$ на плоскость основания. Так как проекция сохраняет отношения отрезков, а $T$ — середина $SD$, то $H$ — середина отрезка $OD$ (где $O$ — центр квадрата, проекция $S$). Отсюда $BH=\dfrac34BD$.

Введём координаты: $B(0;0)$, $C(a;0)$, $A(0;a)$, $D(a;a)$, где $a=AB$. Тогда $K(0;4t)$, $L(8t;0)$ при $a=12t$, а прямая $KL$: $x+2y=8t$. Точка $H=(9t;9t)$.

Пусть $R$ — проекция $H$ на прямую $KL$; тогда искомый угол $\alpha=\angle THR$ (так как $TH\perp$ плоскости основания, а $HR\perp KL$, значит $TR\perp KL$).

Расстояние от $H$ до прямой $KL$: $$HR=\frac{|9t+2\cdot9t-8t|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{19t}{\sqrt5}.$$

Высота $TH=\dfrac12SO=6\sqrt2\,t$ (так как $SO=BD=12\sqrt2\,t$ по условию, а $T$ — середина $SD$, $D$ лежит в основании).

Тогда $$\tan\alpha=\frac{TH}{HR}=\frac{6\sqrt2\,t}{19t/\sqrt5}=\frac{6\sqrt{10}}{19},$$ $$\alpha=\arctan\frac{6\sqrt{10}}{19}.$$