Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Плоскость $KQP\parallel ABC$. Плоскость $ASB$ пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым, значит $KQ\parallel AB$; аналогично $KP\parallel AC$. Так как $K$ — середина $AS$, по теореме о средней линии $Q$ и $P$ — середины $SB$ и $SC$. Тогда $PQ$ — средняя линия $\triangle SBC$. Гомотетия с центром $S$ и коэффициентом $\tfrac12$ переводит $N$ в точку пересечения $SN$ с $PQ$, то есть эта точка $R$ — середина $SN$.

б) Линия пересечения плоскостей $ABC$ и $APQ$ параллельна $BC$ и $PQ$ (так как $PQ\parallel BC$). В основании $AN\perp BC$ (медиана равностороннего треугольника). В плоскости $APQ$ треугольник $APQ$ равнобедренный ($AP=AQ$ из симметрии), поэтому медиана $AR$ к $PQ$ — высота, $AR\perp PQ$. Значит искомый угол — это $\angle RAN$.

Вычисляем: $AN=AB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3$, центр $H$ делит $AN$ так, что $HN=\frac13 AN=4\sqrt3$. По Пифагору из $\triangle SHN$: $SN=\sqrt{14^2+(4\sqrt3)^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$, отсюда $RN=\sqrt{61}$.

Поскольку $H\in AN$, угол $\angle ANR=\angle HNS$, и $\cos\angle HNS=\dfrac{HN}{SN}=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{61}}$.

По теореме косинусов в $\triangle ANR$: $AR^2=(12\sqrt3)^2+61-2\cdot12\sqrt3\cdot\sqrt{61}\cdot\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{61}}=432+61-144=349$.

Снова по теореме косинусов: $\cos\angle RAN=\dfrac{AR^2+AN^2-RN^2}{2\cdot AR\cdot AN}=\dfrac{349+432-61}{24\sqrt{349}\cdot\sqrt3}=\dfrac{720}{24\sqrt{1047}}=\dfrac{30}{\sqrt{1047}}=\dfrac{10\sqrt{1047}}{349}$.

Отсюда $\angle RAN=\arccos\dfrac{10\sqrt{1047}}{349}$.