Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Треугольник $A_1B_1C_1$ равносторонний со стороной 4, точка $T$ — середина $A_1B_1$. В равностороннем треугольнике медиана к стороне совпадает с высотой, поэтому $C_1T\perp A_1B_1$, причём $A_1T=2$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания призмы (свойство прямой призмы), значит $AA_1\perp C_1T$, так как $C_1T$ лежит в плоскости основания.

Таким образом $C_1T$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_1B_1$ и $AA_1$ плоскости $AA_1B_1$, следовательно $C_1T\perp$ плоскости $AA_1B_1$. Значит $C_1T$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $C_1T\perp AT$. Получаем прямой угол при вершине $T$, то есть треугольник $AC_1T$ прямоугольный.

б) Прямая $C_1T$ является линией пересечения плоскости сечения $ATC_1$ и плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$ (она лежит и там, и там). Так как $C_1T\perp AT$ (доказано в а)) и $C_1T\perp A_1T$ (медиана перпендикулярна стороне), обе прямые $AT$ и $A_1T$ лежат в перпендикулярных к $C_1T$ плоскостях и служат линейными сторонами искомого двугранного угла. Значит угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу $\angle A_1TA$.

В прямоугольном треугольнике $AA_1T$ угол при $A_1$ прямой ($AA_1\perp$ основание), поэтому $$\tan\angle A_1TA=\frac{AA_1}{A_1T}=\frac{3}{2}.$$

Следовательно искомый угол равен $\arctan\dfrac{3}{2}$.