Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Доказательство прямоугольности. Все рёбра призмы равны 4, значит основания — правильные треугольники со стороной 4, а боковые рёбра также равны 4 и перпендикулярны основаниям.

Найдём стороны треугольника $ATC_1$.

$AT$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $AA_1T$, где $AA_1\perp A_1B_1C_1$, поэтому $AA_1\perp A_1T$. Так как $T$ — середина $A_1B_1$, то $A_1T=2$, отсюда $AT=\sqrt{AA_1^2+A_1T^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$.

$TC_1$ — медиана правильного треугольника $A_1B_1C_1$ со стороной 4, её длина $\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$, то есть $TC_1=\sqrt{12}$.

$AC_1$ — диагональ прямоугольной боковой грани $ACC_1A_1$, где $AC=4$, $CC_1=4$, значит $AC_1=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$.

Проверяем теорему Пифагора: $AT^2+TC_1^2=20+12=32=AC_1^2$. Равенство выполняется, значит по обратной теореме Пифагора угол при вершине $T$ прямой — треугольник $ATC_1$ прямоугольный.

б) Угол между плоскостями. Боковая грань $AA_1B_1B$ содержит ребро $AA_1$, перпендикулярное основанию, поэтому сама грань перпендикулярна плоскости $ABC$. Так как $C_1T\perp AT$ и $C_1T\perp A_1T$ (обе лежат в плоскости $AA_1B_1B$), прямая $C_1T$ перпендикулярна всей этой грани, а значит и плоскость сечения $ATC_1$ перпендикулярна грани $AA_1B_1B$.

Таким образом обе плоскости (основание и сечение) перпендикулярны одной вспомогательной плоскости $AA_1B_1B$, поэтому угол между ними равен углу между их следами в этой плоскости — прямыми $AB$ и $AT$. Поскольку $A_1B_1\parallel AB$, этот угол равен углу $A_1TA$.

В прямоугольном треугольнике $AA_1T$ ($\angle A_1=90^\circ$): $\tan\angle A_1TA=\dfrac{AA_1}{A_1T}=\dfrac{4}{2}=2$.

Следовательно, искомый угол равен $\arctan 2$.