Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Почему угол между α и ABC равен углу между BB₁ и B₁D

1. В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро всегда перпендикулярно плоскости основания, поэтому $BB_1\perp ABC$.
2. По условию плоскость $\alpha\perp BD_1$, значит $BD_1$ — прямая, перпендикулярная плоскости $\alpha$.
3. Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям (берём острый угол между направляющими векторами). Значит искомый угол равен углу между прямыми $BB_1$ и $BD_1$.
4. Угол между прямыми не зависит от направления векторов — важен лишь острый угол между ними. Вектор $B_1D$ отличается от вектора $BD_1$ только знаком одной координаты (это видно, если ввести координаты вдоль ребра $BD$ и $BB_1$), поэтому острый угол между $BB_1$ и $BD_1$ совпадает с острым углом между $BB_1$ и $B_1D$. Отсюда и требуемое равенство.

б) Вычисление угла

1. Рассмотрим четырёхугольник $BB_1D_1D$. Так как $BB_1\parallel DD_1$ (оба перпендикулярны основанию и равны по длине), а $BD\parallel B_1D_1$, этот четырёхугольник — прямоугольник.
2. Диагональ $BD_1$ пересекает параллельные стороны $BB_1$ и $DD_1$, поэтому по свойству накрест лежащих углов угол между $BB_1$ и $BD_1$ (в точке $B$) равен углу между $DD_1$ и $BD_1$ (в точке $D_1$), то есть $\angle BD_1D$.
3. Найдём $AA_1=DD_1$ из объёма: $$V=AB\cdot AD\cdot AA_1\Rightarrow 48\sqrt3=2\sqrt3\cdot6\cdot AA_1\Rightarrow AA_1=\dfrac{48\sqrt3}{12\sqrt3}=4.$$
4. Найдём диагональ основания $BD$ по теореме Пифагора в прямоугольнике $ABCD$: $$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt3.$$
5. В треугольнике $BDD_1$ угол при $D$ прямой (ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а $BD$ лежит в этой плоскости), поэтому $$\tan(\angle BD_1D)=\dfrac{BD}{DD_1}=\dfrac{4\sqrt3}{4}=\sqrt3\Rightarrow \angle BD_1D=60^{\circ}.$$

Таким образом искомый угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$ равен $60^{\circ}$.