Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Введём координаты: A(0,0,0), B(9,0,0), D(0,6,0), A₁(0,0,14). Тогда из отношения $A_1E:EA=3:4$ и $AA_1=14$ получаем $AE=8,\ A_1E=6$, значит $E(0,0,8)$. Точка $T$ — середина $B_1C_1$: $T(9,3,14)$, $D_1(0,6,14)$.

а) Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$, поэтому плоскость $ETD_1$ пересекает их по параллельным прямым $ED_1$ и $TQ$, где $Q$ — точка на $BB_1$. Прямоугольные треугольники $EA_1D_1$ и $QB_1T$ подобны (катеты $A_1D_1\parallel B_1T$), а так как $EA_1=A_1D_1=6$, то и $QB_1=B_1T=3$. Тогда $QB=BB_1-QB_1=14-3=11$, значит $QB_1:QB=3:11$.

б) Линия пересечения плоскости $ETD_1$ с плоскью $AA_1B_1$ — это прямая $EQ$ (обе точки лежат в обеих плоскостях). Так как $A_1D_1\perp$ плоскости $AA_1B_1$ (ребро $AD$ перпендикулярно этой грани), опустим из $A_1$ перпендикуляр $A_1H$ на $EQ$ — тогда угол $A_1HD_1$ и есть линейный угол искомого двугранного угла.

В плоскости $AA_1B_1$ точки $E,A_1,B_1,Q$ образуют трапецию с параллельными сторонами $EA_1=6$ и $QB_1=3$, расстояние между которыми $AB=9$. Отсюда $EQ=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$, а площадь треугольника $EQA_1$, вычисленная через $EA_1\cdot AB/2=27$, равна $\dfrac12\cdot EQ\cdot A_1H$, откуда $A_1H=\dfrac{2\cdot27}{3\sqrt{10}}=\dfrac{18}{\sqrt{10}}$.

Тогда $\tan\angle A_1HD_1=\dfrac{A_1D_1}{A_1H}=\dfrac{6}{18/\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}$, значит искомый угол равен $\arctan\dfrac{\sqrt{10}}{3}$.