Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Введём координаты: $A(0,0,0),\,B(4,0,0),\,C(4,4,0),\,D(0,4,0)$, а верхние вершины получаются добавлением 6 к $z$. Тогда $M$ — середина $CC_1$: $M(4,4,3)$; так как $BN:NB_1=1:2$, точка $N$ делит $BB_1$ в отношении $1/3$ от $B$: $N(4,0,2)$.

а) Найдём уравнение плоскости $AMN$. Векторы $\vec{AM}=(4,4,3)$, $\vec{AN}=(4,0,2)$. Нормаль — их векторное произведение: $\vec n=\vec{AM}\times\vec{AN}=(8,4,-16)\parallel(2,1,-4)$. Уравнение плоскости: $2x+y-4z=0$.

Ребро $DD_1$ — точки $(0,4,t)$. Подставляя: $0+4-4t=0\Rightarrow t=1$. Значит точка пересечения $K(0,4,1)$, а $DD_1$ имеет длину 6, поэтому $DK=1,\;KD_1=5$, то есть $DK:KD_1=1:5$, что и требовалось доказать.

б) Плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$ с нормалью $\vec n_1=(0,0,1)$. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями (или его дополнению). Косинус угла: $$\cos\varphi=\frac{|\vec n\cdot\vec n_1|}{|\vec n||\vec n_1|}=\frac{4}{\sqrt{4+1+16}}=\frac{4}{\sqrt{21}}.$$ Тогда $\sin\varphi=\sqrt{1-\frac{16}{21}}=\sqrt{\frac{5}{21}}$, и $$\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{5/21}}{4/\sqrt{21}}=\frac{\sqrt5}{4}.$$ Следовательно, $\varphi=\arctan\dfrac{\sqrt5}{4}$.