Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Перпендикулярность AP и PK

Призма прямая, значит боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это позволяет находить длины отрезков через теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках.

• $KA_1$ — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ со стороной 4: $KA_1=\frac{\sqrt3}{2}\cdot4=2\sqrt3$.
• $KC_1=\frac12 B_1C_1=2$; $PC=\frac45\cdot5=4$; $PC_1=1$.
• $AK=\sqrt{AA_1^2+KA_1^2}=\sqrt{25+12}=\sqrt{37}$ (так как $AA_1\perp$ верхней грани).
• $AP=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt2$ (так как $CC_1\perp AC$).
• $KP=\sqrt{KC_1^2+PC_1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5$ (так как $C_1B_1\perp C_1C$).

Проверяем: $AK^2=37=32+5=AP^2+KP^2$. По обратной теореме Пифагора угол $APK=90^\circ$, то есть $AP\perp PK$.

б) Угол между плоскостями

Опустим из $K$ перпендикуляр $KL$ на $A_1C_1$. Поскольку $KL$ лежит в верхней грани, а $CC_1$ перпендикулярна этой грани, $KL\perp CC_1$; значит $KL\perp$ плоскости $CAA_1$. Значит $L$ — проекция $K$, а $PL$ — проекция $PK$ на эту плоскость.

Прямая $AP$ лежит в плоскости $CAA_1$ и является линией пересечения плоскостей $APK$ и $CAA_1$. Так как $AP\perp PK$, по теореме о трёх перпендикулярах $AP\perp PL$. Значит угол $KPL$ — линейный угол искомого двугранного угла.

$KL=KC_1\sin60^\circ=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.

$\sin\angle KPL=\dfrac{KL}{KP}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.

Следовательно, искомый угол равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.