Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Пусть H — середина AC. Тогда BH — медиана равнобедренного (равностороннего) треугольника ABC, поэтому $BH\perp AC$. Кроме того, в правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, значит $BH\perp AA_1$. Так как BH перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $ACC_1A_1$, то $BH\perp(ACC_1A_1)$, то есть H — проекция точки B на эту плоскость.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники AMH и $A_1MN$: $AH=3$ (половина стороны основания), $A_1M=AA_1-AM=5-2=3$, а $AM=A_1N=2$. Значит, у этих треугольников катеты равны в обратном порядке ($AH=A_1M=3$, $AM=A_1N=2$), поэтому углы AMH и $A_1MN$ дополняют друг друга до $90^\circ$: $\angle AMH+\angle A_1MN=90^\circ$. Тогда угол между HM и MN равен $180^\circ-90^\circ=90^\circ$, то есть $HM\perp MN$.

Поскольку $BH\perp$ плоскости $ACC_1A_1$, проекцией BM на эту плоскость служит HM. Так как $HM\perp MN$, по теореме о трёх перпендикулярах $BM\perp MN$, что и требовалось доказать.

б) Из доказательства видно, что $MH\perp MN$ и $BM\perp MN$ — значит, угол между плоскостями BMN и $ACC_1$ равен линейному углу $\angle BMH$ (он лежит в плоскости, перпендикулярной линии пересечения MN).

Найдём стороны треугольника BMH: $BH=AB\cdot\sin60^\circ=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$; $MH=\sqrt{AM^2+AH^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.

Треугольник BMH прямоугольный (угол при H прямой, так как $BH\perp$ плоскости), поэтому $$\tan\angle BMH=\dfrac{BH}{MH}=\dfrac{3\sqrt3}{\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{39}}{13}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{3\sqrt{39}}{13}$.