Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Через точку K проведём в основании прямую, параллельную BC — она пересечёт AC в точке L; через точку M в грани SBC проведём прямую, параллельную BC — она пересечёт SB в точке N. Обе прямые лежат в плоскости α (по построению параллельны BC), и вместе с KM образуют сечение KLMN.

По теореме Фалеса из параллельности KL и BC получаем $AL:LC=AK:KB=1:5$. По условию $SM:MC=1:5$ тоже. Значит на сторонах AC и SC точки L и M делят их в одном отношении, считая от A и S соответственно — по обратной теореме Фалеса отрезок ML параллелен SA. Так как ML лежит в плоскости α, а SA параллельна ML, значит SA параллельна всей плоскости α (прямая, параллельная прямой в плоскости и не лежащая в ней, параллельна плоскости).

б) Плоскости α и SBC пересекаются по прямой MN (параллельной BC). Пусть T — середина BC. Тогда AT и ST — медианы (и высоты) равнобедренных треугольников ABC и SBC, значит обе перпендикулярны BC.

Пусть P — пересечение AT с KL, Q — пересечение ST с MN. Поскольку AT⊥BC и по теореме о трёх перпендикулярах, PQ⊥BC, а значит PQ⊥MN (MN∥BC). Аналогично QT⊥MN. Значит угол между плоскостями равен углу PQT.

Прямая PQ лежит в плоскости ATS и параллельна SA (так как ML∥SA, а PQ — часть той же линии сечения), поэтому угол PQT равен углу AST — линейному углу между плоскостями.

Найдём стороны треугольника AST: $AT=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3$, $ST=\sqrt{SB^2-BT^2}=\sqrt{49-9}=2\sqrt{10}$, $SA=7$.

По теореме косинусов: $$AT^2=SA^2+ST^2-2\cdot SA\cdot ST\cos\angle AST$$ $$27=49+40-2\cdot7\cdot2\sqrt{10}\cos\angle AST$$ $$\cos\angle AST=\dfrac{62}{28\sqrt{10}}=\dfrac{31\sqrt{10}}{140}.$$

Значит искомый угол равен $\arccos\dfrac{31\sqrt{10}}{140}$.