Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Перпендикулярность PQ и SC.

Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $PQ$. Треугольники $ASB$ и $PSQ$ равнобедренные (у обоих сторонами являются равные боковые ребра, увеличенные на $AP=BQ=SA$), а значит их медианы $SM$ и $SN$ совпадают с высотами и лежат на одной прямой $SN$ (медиана к общему основанию идёт из общей вершины $S$). Треугольники $PAC$ и $QBC$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $CP=CQ$, и треугольник $PCQ$ равнобедренный. Тогда $CN\perp PQ$ (медиана-высота).

Таким образом $PQ\perp SN$ и $PQ\perp CN$, то есть $PQ$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $SNC$, а значит $PQ\perp$ плоскости $SNC$. Раз $SC$ лежит в этой плоскости, то $PQ\perp SC$, что и требовалось доказать.

б) Угол между плоскостями $ABC$ и $CPQ$.

Плоскость $SNC$ перпендикулярна и $AB$ (через $CM\perp AB$, $SM\perp AB$), и $PQ$ (доказано выше), значит она перпендикулярна обеим искомым плоскостям. Поэтому линейным углом двугранного угла между $ABC$ и $CPQ$ служит $\angle MCN=\alpha$.

Найдём стороны треугольника $MCN$: $AM=3$, $SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\sqrt{49-9}=2\sqrt{10}$. Треугольник $SPQ\sim SAB$ с коэффициентом 2 (так как $SP=SA+AP=2SA$), поэтому $SN=2SM=4\sqrt{10}$, а $MN=SN-SM=2\sqrt{10}$. $CM=AM\sqrt3=3\sqrt3$ — высота равносторонного треугольника со стороной 6.

По теореме косинусов в $\triangle SCB$: $\cos\angle CSB=\dfrac{SB^2+SC^2-CB^2}{2\cdot SB\cdot SC}=\dfrac{49+49-36}{98}=\dfrac{31}{49}$.

В $\triangle SCQ$ ($SQ=2SB=14$): $CQ^2=SC^2+SQ^2-2\cdot SC\cdot SQ\cdot\cos\angle CSB=49+196-2\cdot7\cdot14\cdot\dfrac{31}{49}=121$, значит $CQ=11$.

$CN=\sqrt{CQ^2-NQ^2}=\sqrt{121-36}=\sqrt{85}$ (учитывая $NQ=PQ/2=6$, так как $PQ=2AB=12$).

По теореме косинусов в $\triangle MCN$: $$\cos\alpha=\dfrac{CM^2+CN^2-MN^2}{2\cdot CM\cdot CN}=\dfrac{27+85-40}{2\cdot3\sqrt3\cdot\sqrt{85}}=\dfrac{72}{6\sqrt{255}}=\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt{85}}.$$

Следовательно, искомый угол $\alpha=\arccos\dfrac{4\sqrt3}{\sqrt{85}}$.