Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Построение сечения. Рассмотрим диагональное сечение призмы плоскостью $ABC_1D_1$: в нём лежат отрезок $AB$, отрезок $C_1D_1$ и диагональ $BD_1$, а значит и точка $E$. Так как $E\in BD_1$, прямая $C_1E$ лежит в этой же плоскости, значит она пересекает прямую $AB$ в некоторой точке $M$ — эта точка обязана принадлежать секущей плоскости. Аналогично в плоскости $BCA_1D_1$ лежит точка $E$, поэтому прямая $A_1E$ пересекает $BC$ в точке $N$, тоже лежащей в сечении. Соединив $A_1,C_1,M,N$, получаем трапецию $A_1C_1NM$ — искомое сечение.

б) Угол между сечением и основанием. Призма прямая с прямоугольным основанием, поэтому диагональ $BD_1$ находим по формуле для диагонали прямоугольного параллелепипеда: $$BD_1=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3.$$ По условию $BE=1$, значит $ED_1=2$, то есть $\dfrac{BE}{ED_1}=\dfrac12$.

Треугольники $D_1C_1E$ и $BME$ подобны (вертикальные углы при $E$ и $C_1D_1\parallel AB$), причём коэффициент подобия равен $\dfrac{BE}{ED_1}=\dfrac12$. Значит $BM=\dfrac{C_1D_1}{2}=1$, то есть $M$ — середина $AB$. Точно так же получаем $BN=1$ — $N$ середина $BC$.

В квадрате $ABCD$ угол при $B$ прямой, поэтому треугольник $BMN$ прямоугольный с равными катетами $BM=BN=1$, значит он равнобедренный, а $MN=\sqrt2$.

Опустим из $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $MN$ (в плоскости основания). Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, по теореме о трёх перпендикулярах $A_1H\perp MN$ тоже. Тогда угол $A_1HA$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$.

Из подобия треугольников $AHM$ и $BMN$ (по катету и острому углу) находим $$AH=\frac{AM}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда $$\tan\angle A_1HA=\frac{AA_1}{AH}=\frac{1}{\frac{\sqrt2}{2}}=\sqrt2,$$

откуда $\angle A_1HA=\arctan\sqrt2$.