Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а $B_1D_1$ — в параллельной ей плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Так как призма прямая, боковые рёбра перпендикулярны основаниям, и проекция прямой $B_1D_1$ на нижнее основание — это диагональ $BD$, которая пересекает $AC$ в центре прямоугольника. Значит, общий перпендикуляр плоскостей одновременно перпендикулярен и $AC$, и $B_1D_1$, поэтому расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно расстоянию между плоскостями, то есть высоте призмы $h$.

Аналогично, проекция прямой $A_1D_1$ на нижнее основание — сторона $AD$, которая пересекает диагональ $BD$ в точке $D$. Значит, расстояние между $A_1D_1$ и $BD$ тоже равно $h$. Оба расстояния равны одной и той же величине $h$, значит они равны друг другу.

б) Из пункта а) $h=DD_1=13$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям (или дополняющему его). Плоскости-нормалью к основанию служит боковое ребро $DD_1$ (оно перпендикулярно основанию, так как призма прямая). Нормалью ко второй плоскости по условию служит прямая $BD_1$. Значит, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $DD_1$ и $BD_1$, то есть углу $\angle BD_1D$ в треугольнике $BDD_1$.

Треугольник $BDD_1$ прямоугольный, так как $DD_1\perp$ основанию, а $BD$ лежит в основании, значит $DD_1\perp BD$. Катет $DD_1=13$. Второй катет — диагональ прямоугольника: $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$.

Поскольку катеты равны, треугольник равнобедренный прямоугольный, значит $\angle BD_1D=45^{\circ}$.