Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Основание — квадрат со стороной 1, поэтому диагональ $BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2}$. В треугольнике $BSD$ стороны $BS=SD=1$, значит $BS^2+SD^2=1+1=2=BD^2$. По обратной теореме Пифагора угол $BSD$ прямой, то есть $SB\perp SD$.

б) Диагонали квадрата перпендикулярны: $AC\perp BD$. Так как пирамида правильная, высота $SO$ перпендикулярна всей плоскости основания, значит $SO\perp BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $SAC$ ($AC$ и $SO$), поэтому $BD\perp(SAC)$. Значит искомая плоскость через $A$, перпендикулярная $BD$, — это именно плоскость $SAC$.

Нужно найти угол между плоскостями $SAD$ и $SAC$ — их линия пересечения $AS$. Возьмём середину $M$ ребра $AS$. Треугольник $SAD$ равносторонний (все ребра равны 1), поэтому медиана $DM$ является и высотой: $DM\perp AS$, $DM=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

В треугольнике $ASO$: $OA=OS=\dfrac{1}{\sqrt2}$ (половина диагонали квадрата и высота пирамиды), то есть он равнобедренный, значит медиана $OM$ к основанию $AS$ также высота: $OM\perp AS$. При этом $OM=\sqrt{OA^2-(AS/2)^2}=\sqrt{1/2-1/4}=1/2$.

Так как обе прямые $DM$ и $OM$ перпендикулярны линии пересечения плоскостей $AS$ в точке $M$, угол между плоскостями равен углу $OMD$.

Найдём $OD=\dfrac{1}{\sqrt2}$ (тоже половина диагонали). По теореме косинусов: $$\cos\angle OMD=\frac{OM^2+MD^2-OD^2}{2\cdot OM\cdot MD}=\frac{\frac14+\frac34-\frac12}{2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{1}{\sqrt3}.$$ Тогда $$\sin\angle OMD=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}.$$