Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Пусть O — центр треугольника ABC. Так как AD:AC=AE:AB=4:6=2/3, по теореме о пропорциональных отрезках DE∥BC, и треугольник ADE подобен ABC с коэффициентом $k=\dfrac23$.

Высота, опущенная из A на BC в треугольнике ABC, и высота, опущенная из A на DE в треугольнике ADE, лежат на одной прямой (обе перпендикулярны BC, а DE∥BC). Длина второй высоты равна $\dfrac23$ длины первой. Но центроид O правильного треугольника делит медиану (=высоту) от вершины A в отношении $AO:OH=2:1$, то есть $AO=\dfrac23 AH$ — ровно столько же, сколько составляет высота треугольника ADE. Значит, основание высоты ADE совпадает с O, а так как эта высота лежит в плоскости и опускается на прямую DE, точка O принадлежит DE. Что и требовалось доказать.

б) Плоскости ABC и EDL пересекаются по прямой ED. Чтобы найти угол между плоскостями, нужен линейный угол — прямые, перпендикулярные ED, в каждой из плоскостей.

AO⟂ED (высота равнобедренного треугольника ADE к основанию), MO⟂ED (по той же причине для симметричной высоты из M, так как AM=MB=MC — правильная пирамида, MO — высота пирамиды и перпендикулярна плоскости ABC, а значит и ED). Значит плоскость MOA перпендикулярна ED, и любая прямая этой плоскости, в частности LO (L лежит на AM), тоже перпендикулярна ED. Поэтому угол $\angle LOA$ — искомый линейный угол.

Найдём $AO$: сторона основания 6, высота треугольника $3\sqrt3$, а $AO=\dfrac23\cdot3\sqrt3=2\sqrt3$.

В треугольнике $AMO$ угол при O прямой (MO⟂ плоскости ABC), поэтому $\cos\angle MAO=\dfrac{AO}{AM}=\dfrac{2\sqrt3}{5}$. Так как L лежит на AM, $\angle OAL=\angle MAO$, и $\sin\angle OAL=\sqrt{1-\dfrac{12}{25}}=\dfrac{\sqrt{13}}{5}$.

По теореме косинусов в треугольнике AOL ($AO=2\sqrt3$, $AL=4$): $$OL^2=AO^2+AL^2-2\cdot AO\cdot AL\cdot\cos\angle OAL=12+16-2\cdot2\sqrt3\cdot4\cdot\frac{2\sqrt3}{5}=\frac{44}{5},$$ $$OL=\frac{2\sqrt{55}}{5}.$$

Теперь по теореме синусов в том же треугольнике: $$\frac{AL}{\sin\angle LOA}=\frac{OL}{\sin\angle OAL}\ \Rightarrow\ \sin\angle LOA=\frac{AL\cdot\sin\angle OAL}{OL}=\frac{4\cdot\frac{\sqrt{13}}{5}}{\frac{2\sqrt{55}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{55}}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arcsin\dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt{55}}$.