Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Перпендикулярность BM и MN Пусть H — середина AC. Тогда BH — высота равностороннего треугольника ABC со стороной 6, поэтому $BH=3\sqrt3$. Отрезок NH вертикален и равен ребру $AA_1=6$, так как N — середина A₁C₁, а A₁C₁ параллельно AC. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BHN: $BN^2=BH^2+NH^2=27+36=63$.

Теперь найдём BM и MN через прямые углы, возникающие из перпендикулярности бокового ребра основанию. $AM=3$, $AB=6$, угол A прямой, значит $BM^2=AB^2+AM^2=36+9=45$. Аналогично $MA_1=3$, $A_1N=3$, угол при A₁ между AA₁ и A₁C₁ прямой, значит $MN^2=MA_1^2+A_1N^2=9+9=18$.

Сумма $BM^2+MN^2=45+18=63=BN^2$ — по обратной теореме Пифагора угол BMN прямой, то есть $BM\perp MN$.

б) Угол между плоскостями Опустим из N перпендикуляр NP на A₁B₁. Так как NP лежит в плоскости основания, а AA₁ перпендикулярна основанию, NP⊥AA₁; вместе с NP⊥A₁B₁ это даёт NP⊥плоскости ABB₁. Значит P — проекция N на эту плоскость, а MP — проекция MN (M уже лежит в плоскости ABB₁).

По теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, из $BM\perp MN$ следует $BM\perp MP$. Так как BM перпендикулярна обеим прямым MN и MP, угол NMP — линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями BMN и ABB₁.

NP — половина высоты равностороннего треугольника со стороной 6, значит $NP=\dfrac{3\sqrt3}{2}$. В прямоугольном треугольнике NMP (прямой угол при P) $\sin\angle NMP=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{3\sqrt3/2}{3\sqrt2}=\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.

Отсюда $\angle NMP=\arcsin\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.