Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Шаг 1. Разбираемся с ромбом. У ромба соседние углы дают в сумме $180^\circ$, поэтому $\angle BCD=180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Так как $BC=CD=10$, треугольник $BCD$ равносторонний. $K$ — середина $CD$, значит $BK$ — медиана (и высота) этого треугольника: $BK=10\sin60^\circ=5\sqrt3$.

Шаг 2. Находим стороны треугольника $B_1PK$. Боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, поэтому в треугольниках $B_1C_1P$, $PCK$, $BB_1K$ прямой угол при вершинах $C_1$, $C$, $B$ соответственно. По теореме Пифагора: $$B_1P=\sqrt{B_1C_1^2+C_1P^2}=\sqrt{100+25}=5\sqrt5,$$ $$PK=\sqrt{CK^2+CP^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt2,$$ $$B_1K=\sqrt{BK^2+BB_1^2}=\sqrt{75+100}=5\sqrt7.$$

Шаг 3 (пункт а). Проверяем: $B_1P^2+PK^2=125+50=175=B_1K^2$. По обратной теореме Пифагора угол при вершине $P$ в треугольнике $B_1PK$ прямой, значит $PK\perp PB_1$.

Шаг 4 (пункт б). Плоскости $PKB_1$ и $C_1B_1B$ пересекаются по прямой $B_1P$. В плоскости $C_1B_1B$ строим перпендикуляр к $B_1P$ в точке $P$ — он пересекает $B_1C_1$ в точке $Q$. Так как $PK\perp PB_1$ (из пункта а), угол $KPQ$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями, то есть искомый угол.

Шаг 5. Из подобия прямоугольных треугольников, получающихся при построении, находим $PQ=\dfrac12 B_1P=\dfrac{5\sqrt5}{2}$, $C_1Q=\dfrac12 C_1P=\dfrac52$.

Шаг 6. Через проекцию $K_1$ точки $K$ на верхнюю грань (середину $C_1D_1$) находим $K_1Q$ по теореме косинусов с углом $120^\circ$, затем $KQ$ по теореме Пифагора (так как $KK_1\perp$ верхней грани): получаем $KQ^2=\dfrac{575}{4}$.

Шаг 7. В треугольнике $KPQ$ известны все стороны кроме угла между ними — применяем теорему косинусов: $$KQ^2=KP^2+PQ^2-2\cdot KP\cdot PQ\cos\angle KPQ.$$ Подставляя числа, получаем $\cos\angle KPQ=-\dfrac{\sqrt{10}}{4}$. Поскольку угол между плоскостями берётся острым, ответ — $\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.