Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Почему угол $EA_1B_1$ прямой. Прямые $BD$ и $B_1C_1$ лежат в одной плоскости — боковой грани $BCC_1B_1$, поэтому у них есть точка пересечения $E$ (при продолжении отрезков). Сравним треугольники $BCD$ и $EC_1D$: углы при вершине $D$ равны как вертикальные, углы $BCD$ и $EC_1D$ — прямые (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания), а $CD=C_1D$, так как $D$ — середина $CC_1$. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны, значит $EC_1=BC=5$.

Но $BC=A_1C_1=B_1C_1=5$ — сторона правильного треугольника. Значит $EC_1=A_1C_1$, то есть $C_1$ — середина отрезка $B_1E$ (ведь $E$ лежит на продолжении $B_1C_1$ за точку $C_1$, и $EC_1=B_1C_1$). Тогда отрезок $A_1C_1$ — медиана треугольника $A_1B_1E$, проведённая к стороне $B_1E$, и она равна её половине: $A_1C_1=\frac12 B_1E$. Медиана, равная половине стороны, к которой она проведена, — признак прямого угла у вершины, из которой она выходит. Значит $\angle EA_1B_1=90^\circ$, что и требовалось доказать.

б) Угол между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $BDA_1$. Точка $E$ лежит на $B_1C_1\subset(A_1B_1C_1)$ и на $BD\subset(BDA_1)$, а точка $A_1$ общая для обеих плоскостей. Значит линия пересечения плоскостей — прямая $A_1E$.

Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$, поэтому проекцией наклонной $A_1B$ на эту плоскость служит отрезок $A_1B_1$. По доказанному в пункте а) $A_1B_1\perp A_1E$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой: $A_1B\perp A_1E$.

Таким образом обе прямые $A_1B_1$ и $A_1B$ перпендикулярны линии пересечения плоскостей $A_1E$, и угол $\angle BA_1B_1$ — линейный угол искомого двугранного угла. В прямоугольном треугольнике $BB_1A_1$ (с прямым углом при $B_1$, так как $BB_1\perp(A_1B_1C_1)$): $$\tan\angle BA_1B_1=\frac{BB_1}{A_1B_1}=\frac{15}{5}=3.$$ Следовательно, искомый угол равен $\arctan 3$.