Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

Введение системы координат. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(2,0,0)$, $C=(2,2,0)$, $D=(0,2,0)$, а верхние вершины $A_1,B_1,C_1,D_1$ получены сдвигом на $3$ по оси $z$. Точка $E$ лежит на $AA_1$, причём $AE:EA_1=1:2$, значит $AE=1$, $EA_1=2$, то есть $E=(0,0,1)$.

а) Равноудалённость $A$ и $C_1$. Четырёхугольник $ABC_1D_1$ — параллелограмм (стороны $AB\parallel D_1C_1$ и равны), а угол при $B$ прямой, значит это прямоугольник. У прямоугольника диагонали $AC_1$ и $BD_1$ пересекаются в общей середине $O$. Так как отрезок $BD_1$ лежит в плоскости $BED_1$, точка $O$ принадлежит этой плоскости, и прямая $AC_1$ пересекает плоскость ровно в середине отрезка $AC_1$. Опустим перпендикуляры из $A$ и $C_1$ на плоскость $BED_1$ — получим точки $P$ и $L$. Прямоугольные треугольники $APO$ и $C_1LO$ равны по гипотенузе ($AO=OC_1$) и вертикальному острому углу при $O$, поэтому $AP=C_1L$ — расстояния от $A$ и $C_1$ до плоскости равны, что и требовалось.

б) Угол между плоскостями $ABC$ и $BED_1$. Плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$. Чтобы найти прямую пересечения плоскостей, продолжим прямую $D_1E$ за $E$ и прямую $DA$ за $A$ — они пересекаются в точке $K$, лежащей одновременно в обеих плоскостях (в плоскости $ABC$, так как лежит на продолжении $DA$, и в плоскости $BED_1$, так как лежит на прямой $D_1E$). Значит прямая $KB$ — линия пересечения плоскостей.

Из $E$ опустим перпендикуляр $EH$ на $KB$; так как $AA_1\perp ABC$, то $EA\perp ABC$, а по теореме о трёх перпендикулярах проекция $AH$ также перпендикулярна $KB$. Угол $\angle EHA$ — линейный угол искомого двугранного угла.

Треугольники $A_1D_1E$ и $AKE$ подобны (по трём углам, так как $A_1D_1\parallel AK$), значит $$AK=\frac{AE}{EA_1}\cdot A_1D_1=\frac12\cdot2=1.$$

В прямоугольном треугольнике $ABK$ (угол при $A$ прямой) находим гипотенузу: $$BK=\sqrt{AB^2+AK^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt5.$$

Высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: $$AH=\frac{AK\cdot AB}{BK}=\frac{1\cdot2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

В прямоугольном треугольнике $AHE$ (угол при $A$ прямой): $$\tan\angle AHE=\frac{AE}{AH}=\frac{1}{\frac{2\sqrt5}{5}}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{\sqrt5}{2}$.