Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между плоскостями

а) Точка K лежит на BB1 так, что KB=3, значит KB1=1. Чтобы построить сечение через K и C1, параллельное BD1, проведём в плоскости BB1D1D через K прямую, параллельную BD1; она пересечёт диагональ B1D1 в точке L. Тогда прямая C1L лежит в плоскости верхней грани и пересекает A1B1 в точке P — сечение KPC1 параллельно BD1, так как содержит прямую KL, параллельную BD1.

По теореме Фалеса в треугольнике BB1D1 (K на BB1, L на B1D1, KL∥BD1): $B_1L:B_1D_1=B_1K:B_1B=1:4$. Аналогично для симметричной прямой через A1, параллельной C1P, находим точку M на D1B1 с $D_1M:D_1B_1=1:4$. Тогда $ML:LB_1=2:1$, а из подобия (A1P∥ и параллельно построенным отрезкам) получаем $A_1P:PB_1=ML:LB_1=2:1$, что и требовалось доказать.

б) Найдём длину PB1: так как $A_1P:PB_1=2:1$ и $A_1B_1=4$, то $PB_1=\dfrac{1}{3}\cdot4=\dfrac{4}{3}$.

Ребро A1B1 перпендикулярно грани BB1C1C (это боковое ребро куба), значит отрезок PB1 перпендикулярен этой грани — он является «высотой» наклонной плоскости.

Линия пересечения плоскости α с гранью BB1C1C — это прямая KC1 (обе точки принадлежат и плоскости α, и грани). Чтобы найти линейный угол двугранного угла, опустим из B1 перпендикуляр B1N на KC1 внутри грани BB1C1C — по теореме о трёх перпендикулярах отрезок PN тогда перпендикулярен KC1, и угол PNB1 — искомый угол между плоскостью α и гранью.

В прямоугольном треугольнике B1C1K: $B_1K=1$, $B_1C_1=4$, значит $KC_1=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$, а площадь $S=\dfrac12\cdot4\cdot1=2$.

Высота к гипотенузе: $B_1N=\dfrac{2S}{KC_1}=\dfrac{4}{\sqrt{17}}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике PNB1 (угол при B1 прямой, так как PB1⊥грани): $$\tan\angle PNB_1=\frac{PB_1}{B_1N}=\frac{4/3}{4/\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{3}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arctan\dfrac{\sqrt{17}}{3}$.